Question

【題目】（9分）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD，PO.

（1）求證：△CDP≌△POB；

（2）填空：

① 若AB=4，則四邊形AOPD的最大面積為 ；

② 連接OD，當∠PBA的度數(shù)為 時，四邊形BPDO是菱形.

Answer 1

【答案】（1）參見解析；（2）①4；②60º.

【解析】試題（1）利用邊角邊證明這兩個三角形全等；（2）①當∠CAB=90時，四邊形AOPD有最大面積,此時等于AO乘以AD的值；②當四邊形BPDO是菱形時，可推出OB=OP=OD=DP,三角形DPO是等邊三角形，所以∠PDO=60，∵菱形對角相等，∴∠PBA的度數(shù)也等于60.

試題解析：（1）∵D是AC的中點，且PC=PB，∴DP∥AB,DP=AB,∴∠CPD=∠PBO,∵OB=AB,∴DP=OB,∴△CDP≌△POB；（2）①∵四邊形AOPD是平行四邊形，當高等于AD時，四邊形AOPD有最大面積,此時∠CAB=90，最大面積=AO×AD=2×2=4；②當四邊形BPDO是菱形時，OD=DP=OB,∵OB=OP，∴OP=OD=DP,∴△DPO是等邊三角形，∴∠PDO=60，∵菱形對角相等，∴∠PBA=∠PDO=60.