Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，過(guò)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交邊AB，CD于點(diǎn)E、F，連接CE，AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若EF=4，tan∠OAE=

2

3

，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

證明：如圖，
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2．
在△CFO和△AEO中，

∠1=∠2 ∠FOC=∠EOA OC=OA

，
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．

（2）∵四邊形AECF是菱形，EF=4，
∴OE=

1

2

EF=2．
在在Rt△AEO中，
∵tan∠OAE=

OE

OA

=

2

3

，
∴OA=3，
∴AC=2AO=6，
∴四邊形AECF的面積=

1

2

×4×6=12．