Question

【題目】 我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個(gè)三角形給出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2=a2+2ab+b2展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)，等等．

有如下四個(gè)結(jié)論：

①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

②當(dāng)a=-2，b=1時(shí)，代數(shù)式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；

③當(dāng)代數(shù)式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0時(shí)，一定是a=-1，b=1；

④（a+b）n的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n．

上述結(jié)論中，正確的有______（寫(xiě)出序號(hào)即可）．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根據(jù)題中舉例說(shuō)明，明確楊輝三角的與的展開(kāi)式的系數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，據(jù)此逐項(xiàng)分析．

解：∵在楊輝三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)，等等

∴在楊輝三角形中第行的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)，

①∵展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)，為楊輝三角形中第6行的6個(gè)數(shù)，

∴；

②∵各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角中的第4行的4個(gè)數(shù)，

∴，

當(dāng)時(shí)，代數(shù)式=；

③∵各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角中的第5行的5個(gè)數(shù)，

∴，

當(dāng)代數(shù)式時(shí)，，不一定是；

④∵當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式各項(xiàng)之和便是系數(shù)之和，

∴的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為，

故答案為：①②．