Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，作MD∥y軸交BC于點(diǎn)D，求△DMH周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+ （3）

【解析】

試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，在Rt△BOC中由三角函數(shù)定義可求得∠OCB=60°，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函數(shù)的定義可求得OA，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（3）由平行線的性質(zhì)可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長(zhǎng)，從而可表示出△DMH的周長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

試題解析： （1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，

∴B（3，0），C（0，），

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO==，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴=tan30°=，即=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；

（3）∵MD∥y軸，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，則∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周長(zhǎng)=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長(zhǎng)有最大值，

∵點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，

∴可設(shè)M（t，﹣ t2+t+），則D（t，﹣ t+），

∴DM=﹣t2+t+），則D（t，﹣ t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+ ，

∴當(dāng)t=時(shí)，DM有最大值，最大值為，

此時(shí)DM=×=，

即△DMH周長(zhǎng)的最大值為．