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        1. 【題目】如圖,直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,ACB=90°,拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A,B兩點(diǎn).

          (1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

          (2)求拋物線的解析式;

          (3)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)M作MHBC于點(diǎn)H,作MDy軸交BC于點(diǎn)D,求DMH周長的最大值.

          【答案】(1)(﹣1,0)(2)y=﹣x2+x+ (3)

          【解析】

          試題分析:(1)由直線解析式可求得B、C坐標(biāo),在RtBOC中由三角函數(shù)定義可求得OCB=60°,則在RtAOC中可得ACO=30°,利用三角函數(shù)的定義可求得OA,則可求得A點(diǎn)坐標(biāo);

          (2)由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

          (3)由平行線的性質(zhì)可知MDH=BCO=60°,在RtDMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系,可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),則可表示出DM的長,從而可表示出DMH的周長,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.

          試題解析: (1)直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn),

          B(3,0),C(0,),

          OB=3,OC=,

          tanBCO==

          ∴∠BCO=60°,

          ∵∠ACB=90°,

          ∴∠ACO=30°,

          =tan30°=,即=,解得AO=1,

          A(﹣1,0);

          (2)拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A,B兩點(diǎn),

          ,解得 ,

          拋物線解析式為y=﹣x2+x+;

          (3)MDy軸,MHBC,

          ∴∠MDH=BCO=60°,則DMH=30°,

          DH=DM,MH=DM,

          ∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM,

          當(dāng)DM有最大值時,其周長有最大值,

          點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn),

          可設(shè)M(t,﹣ t2+t+),則D(t,﹣ t+),

          DM=﹣t2+t+),則D(t,﹣ t+),

          DM=﹣t2+t+﹣(﹣t+)=﹣t2+t=﹣(t﹣2+

          當(dāng)t=時,DM有最大值,最大值為,

          此時DM=×=,

          DMH周長的最大值為

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