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        1. 【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問題:如圖1,、是四邊形的對角線,若,則線段,,三者之間有何等量關(guān)系?

          經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長,使,連接,證得,從而容易證明是等邊三角形,故,所以.

          小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn),使重合,從而容易證明是等比三角形,故,所以.

          在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進一步的研究:

          (1)小穎提出:如圖4,如果把改為,其它條件不變,那么線段,三者之間有何等量關(guān)系?針對小穎提出的問題,請你寫出結(jié)論,并給出證明.

          (2)小華提出:如圖5,如果把改為,其它條件不變,那么線段,,三者之間有何等量關(guān)系?針對小華提出的問題,請你寫出結(jié)論,不用證明.

          【答案】(1)BC+CD=AC(2)BC+CD=2ACcosα

          【解析】

          試題分析:(1)先判斷出ADE=ABC,即可得出ACE是等腰三角形,再得出AEC=45°,即可得出等腰直角三角形,即可;(判斷ADE=ABC也可以先判斷出點A,B,C,D四點共圓)

          (2)先判斷出ADE=ABC,即可得出ACE是等腰三角形,再用三角函數(shù)即可得出結(jié)論.

          試題解析:(1)BC+CD=AC;

          理由:如圖1,

          延長CD至E,使DE=BC,

          ∵∠ABD=ADB=45°,

          AB=AD,BAD=180°﹣ABD﹣ADB=90°,

          ∵∠ACB=ACD=45°,

          ∴∠ACB+ACD=45°,

          ∴∠BAD+BCD=180°,

          ∴∠ABC+ADC=180°,

          ∵∠ADC+ADE=180°,

          ∴∠ABC=ADE,

          ABC和ADE中,

          ∴△ABC≌△ADE(SAS),

          ∴∠ACB=AED=45°,AC=AE,

          ∴△ACE是等腰直角三角形,

          CE=AC,

          CE=CE+DE=CD+BC,

          BC+CD=AC;

          (2)BC+CD=2ACcosα.

          理由:如圖2,

          延長CD至E,使DE=BC,

          ∵∠ABD=ADB=α,

          AB=AD,BAD=180°﹣ABD﹣ADB=180°﹣2α,

          ∵∠ACB=ACD=α,

          ∴∠ACB+ACD=2α,

          ∴∠BAD+BCD=180°,

          ∴∠ABC+ADC=180°,

          ∵∠ADC+ADE=180°,

          ∴∠ABC=ADE,

          ABC和ADE中,,

          ∴△ABC≌△ADE(SAS),

          ∴∠ACB=AED=α,AC=AE,

          ∴∠AEC=α,

          過點A作AFCE于F,

          CE=2CF,在RtACF中,ACD=α,CF=ACcosACD=ACcosα,

          CE=2CF=2ACcosα,

          CE=CD+DE=CD+BC,

          BC+CD=2ACcosα.

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