Question

【題目】已知二次函數y=x2+bx+c（b，c是常數）的圖象經過點（1，﹣1）．

（1）用含b的代數式表示c．

（2）求二次函數圖象的頂點縱坐標的最大值，并寫出此時二次函數的表達式．

（3）垂直于y軸的直線與（2）中所得的二次函數圖象交于（x1，y1）和（x2，y2），與一次函數y=﹣x+2的圖象交于（x3，y3），若x1<x2<x3，求x1+x2+x3的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）c=﹣b－2；（2）﹣1，此時y=x2－2x；（3）4<x1+x2+x3<5．

【解析】

（1）把點（1，﹣1）代入拋物線的解析式，整理即可得出結果；

（2）根據二次函數的頂點坐標公式和（1）題的結果可得拋物線頂點的縱坐標關于b的二次函數，再根據二次函數的性質即可求出其最大值，進而可得結果；

（3）設垂直于y軸的直線為y=t，則x1、x2是方程x2－2x=t的兩個根，由此可得x1+x2的值，且只有當時，滿足x1<x2<x3，如圖，由此可得關于x3的不等式組，解不等式組即可求出x3的取值范圍，進而可得結果。

解：（1）∵二次函數y=x2+bx+c（b，c是常數）的圖象經過點（1，﹣1），

∴﹣1=1+b+c，

∴c=﹣b－2；

（2）拋物線頂點的縱坐標=，

∴當b=﹣2時，二次函數圖象的頂點縱坐標的最大值是﹣1；

此時c=0，二次函數的解析式是：y=x2－2x；

（3）設垂直于y軸的直線為y=t，拋物線y=x2－2x=（x－1）2－1，

由題意可得：只有當時，滿足x1<x2<x3，如圖，

則x1、x2是方程x2－2x=t的兩個根，即x2－2x－t=0，

∴x1+x2=2，

當時，，解得：，

∴4<x1+x2+x3<5．