Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)形狀、大小完全相同的三角板OBC，DEF，按如圖所示的位置擺放，O為原點(diǎn)，點(diǎn)B(12，0) ，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊OB與邊DE都在x軸上．其中，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°．

（1）如圖①，求點(diǎn)C坐標(biāo)；

（2）現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板OBC沿x軸正方向平移，得到△O′B′C′ ，當(dāng)點(diǎn)O′ 落點(diǎn)D上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)三角板平移的距離為x，兩個(gè)三角板重疊部分的面積為y．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）條件下，設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M，邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N．直接寫出在三角板平移過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）C (3 ,)；（2） ；（3）M

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G點(diǎn)，根據(jù)B(12，0) ，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°，得OB=12， OC=6．根據(jù)OG=OCcos60°，CG=OCsin60°求出結(jié)果即可得到坐標(biāo)；

（2）分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，列出方程可得答案；

（3）根據(jù)點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短，點(diǎn)在上時(shí)最短，根據(jù)三角形的中位線，可得，的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）如圖①所示：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G點(diǎn)．

∵B(12，0) ，得OB=12，

在Rt△OBC中，由OB=12，∠OBC=30°，得OC=6．

∴∠COB=60°

在Rt△OCG中，OG=OCcos60°=3．

∴CG=OCsin60°=．

∴C (3 ,).

（2）①當(dāng)0≤x＜6時(shí)，如圖②所示．

∠GDE=60°，∠GB′D=30°，DB′=x，得

DG=，B′G=，重疊部分的面積為

y=DGB′G=x=

②當(dāng)6≤x≤12時(shí)，如圖③所示．

B′D=x，DG=x，B′G=，B′E=x﹣6，

EH=．

重疊部分的面積為y=S△B′DG﹣S△B′EH=DGB′G﹣B′EEH，

即y=x-

化簡(jiǎn)，得y=；

綜上所述： ；

（3）如圖5所示，作于點(diǎn)，

點(diǎn)在上時(shí)最短，

∵是的中位線，

∴，，

∴，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：．