Question

已知：在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在A(yíng)D的左側(cè)作等腰直角△ADE，解答下列各題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
（i）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖甲，線(xiàn)段BD，CE之間的位置關(guān)系為

BD⊥CE，且BD=CE．

（ii）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖乙，i）中的結(jié)論是否還成立？為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)．
試探究：當(dāng)△ABC滿(mǎn)足一個(gè)什么條件時(shí)，BC⊥CE（點(diǎn)D不與點(diǎn)C，B重合）？試畫(huà)出相應(yīng)圖形，寫(xiě)出你的探究結(jié)果（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）（i）垂直（或BD⊥CE），相等（或BD=CE）；
（ii）（i）中的結(jié)論是否仍然成立．由于∠BAC=∠DAE=90°，利用等式性質(zhì)可得∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE，利用SAS可證△ABD≌△ACE，那么BD=CE，∠B=∠ACE，又知∠B+∠ACB=90°，從而易得∠ACE+∠ACB=∠BCE=90°，即BD⊥CE；
（2）畫(huà)出和圖甲或圖乙相似的圖即可．

解答：解：（1）（i）垂直（或BD⊥CE），相等（或BD=CE）；
（ii）（i）中的結(jié)論是否仍然成立，理由如下
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠B=∠ACE，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCE=90°，
即BD⊥CE；
（2）如右圖所示，
當(dāng)△ABC滿(mǎn)足∠ACB=45°時(shí)，BC⊥CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明△ABD≌△ACE．