Question

【題目】如圖，已知正方形中，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，以為一邊，作正方形，且點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，連接．

（1）求證：；

（2）設(shè)，正方形的邊長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；

（3）連接，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（）；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，或

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOD=90°，AO=OD，∠EOH=90°，OE=OH，由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）如圖1，過(guò)O作ON⊥AB于N，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，

根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論；

（3）①當(dāng)AE=EG時(shí)，△AEG是等腰三角形，②當(dāng)AE=AG時(shí)，△AEG是等腰三角形，如圖2，過(guò)A作AP⊥EG于P③當(dāng)GE=AG時(shí)，△AEG是等腰三角形，如圖3，過(guò)G作GQ⊥AE于Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)健即可得到結(jié)論．

（1）∵四邊形是正方形，

，

，

∵四邊形是正方形，

，

，

，

即，

．

（2）如圖1，過(guò)O作ON⊥AB于N，

則，

∵BF=x，

∴AF=4-x，

∴FN=2-x，

∴，

∴，

∵AM⊥AC，

∴AE∥OB，

∴，

∴，

∴；

（3）①當(dāng)AE=EG時(shí)，△AEG是等腰三角形，則AE=OE，

∵∠EAO=90°，

∴這種情況不存在；

②當(dāng)AE=AG時(shí)，△AEG是等腰三角形，

如圖2，過(guò)A作AP⊥EG于P，則AP∥OE，

∴∠PAE=∠AEO，

∴△APE∽△EAO，

∴，

∵AE=AG，

∴，，

∴，

解得：x=2，

②當(dāng)GE=AG時(shí)，△AEG是等腰三角形，

如圖3，過(guò)G作GQ⊥AE于Q，

∴∠GQE=∠EAO=90°，

∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，

∴∠EGQ=∠AEO，

∵GE=OE，

∴△EGQ≌△OEA（AAS），

∴，

∴，

∴，

∴BF=2或．