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        1. 【題目】理解:數(shù)學興趣小組在探究如何求tan15°的值,經(jīng)過思考、討論、交流,得到以下思路:
          思路一 如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延長CB至點D,使BD=BA,連接AD.設AC=1,則BD=BA=2,BC=.tanD=tan15°===2﹣
          思路二 利用科普書上的和(差)角正切公式:tan(α±β)=.假設α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)===2﹣
          思路三 在頂角為30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…
          思路四 …
          請解決下列問題(上述思路僅供參考).

          (1)類比:求出tan75°的值;
          (2)應用:如圖2,某電視塔建在一座小山上,山高BC為30米,在地平面上有一點A,測得A,C兩點間距離為60米,從A測得電視塔的視角(∠CAD)為45°,求這座電視塔CD的高度;

          (3)拓展:如圖3,直線y=x﹣1與雙曲線y=交于A,B兩點,與y軸交于點C,將直線AB繞點C旋轉45°后,是否仍與雙曲線相交?若能,求出交點P的坐標;若不能,請說明理由.

          【答案】
          (1)

          解:(1)方法一:如圖1,

          在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延長CB至點D,使BD=BA,連接AD.

          設AC=1,則BD=BA=2,BC=

          tan∠DAC=tan75°====2+

          方法二:tan75°=tan(45°+30°)

          ====2+;


          (2)

          如圖2,

          在Rt△ABC中,

          AB===,

          sin∠BAC===,即∠BAC=30°.

          ∵∠DAC=45°,∴∠DAB=45°+30°=75°.

          在Rt△ABD中,tan∠DAB=,

          ∴DB=ABtan∠DAB=(2+)=+90,

          ∴DC=DB﹣BC=+90﹣30=+60.

          答:這座電視塔CD的高度為(+60)米;


          (3)

          ①若直線AB繞點C逆時針旋轉45°后,與雙曲線相交于點P,如圖3.

          過點C作CD∥x軸,過點P作PE⊥CD于E,過點A作AF⊥CD于F.

          解方程組,得

          ,

          ∴點A(4,1),點B(﹣2,﹣2).

          對于y=x﹣1,當x=0時,y=﹣1,則C(0,﹣1),OC=1,

          ∴CF=4,AF=1﹣(﹣1)=2,

          ∴tan∠ACF===,

          ∴tan∠PCE=tan(∠ACP+∠ACF)=tan(45°+∠ACF)

          =

          ==3,即=3.

          設點P的坐標為(a,b),

          則有,

          解得:

          ∴點P的坐標為(﹣1,﹣4)或(,3);

          ②若直線AB繞點C順時針旋轉45°后,與x軸相交于點G,如圖4.

          由①可知∠ACP=45°,P((,3),則CP⊥CG.

          過點P作PH⊥y軸于H,

          則∠GOC=∠CHP=90°,∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH,

          ∴△GOC∽△CHP,

          =

          ∵CH=3﹣(﹣1)=4,PH=,OC=1,

          ==,

          ∴GO=3,G(﹣3,0).

          設直線CG的解析式為y=kx+b,

          則有,

          解得

          ∴直線CG的解析式為y=x﹣1.

          聯(lián)立

          消去y,得

          =x﹣1,

          整理得:x2+3x+12=0,

          ∵△=32﹣4×1×12=﹣39<0,

          ∴方程沒有實數(shù)根,

          ∴點P不存在.

          綜上所述:直線AB繞點C旋轉45°后,能與雙曲線相交,交點P的坐標為(﹣1,﹣4)或(,3).


          【解析】(1)如圖1,只需借鑒思路一或思路二的方法,就可解決問題;
          (2)如圖2,在Rt△ABC中,運用勾股定理求出AB,運用三角函數(shù)求得∠BAC=30°.從而得到∠DAB=75°.在Rt△ABD中,運用三角函數(shù)就可求出DB,從而求出DC長;
          (3)①若直線AB繞點C逆時針旋轉45°后,與雙曲線相交于點P,如圖3.過點C作CD∥x軸,過點P作PE⊥CD于E,過點A作AF⊥CD于F,可先求出點A、B、C的坐標,從而求出tan∠ACF的值,進而利用和(差)角正切公式求出tan∠PCE=tan(45°+∠ACF)的值,設點P的坐標為(a,b),根據(jù)點P在反比例函數(shù)的圖象上及tan∠PCE的值,可得到關于a、b的兩個方程,解這個方程組就可得到點P的坐標;②若直線AB繞點C順時針旋轉45°后,與x軸相交于點G,如圖4,由①可知∠ACP=45°,P((,3),則有CP⊥CG.過點P作PH⊥y軸于H,易證△GOC∽△CHP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出GO,從而得到點G的坐標,然后用待定系數(shù)法求出直線CG的解析式,然后將直線CG與反比例函數(shù)的解析式組成方程組,消去y,得到關于x的方程,運用根的判別式判定,得到方程無實數(shù)根,此時點P不存在.
          【考點精析】關于本題考查的公式法和求根公式,需要了解要用公式解方程,首先化成一般式.調(diào)整系數(shù)隨其后,使其成為最簡比.確定參數(shù)abc,計算方程判別式.判別式值與零比,有無實根便得知.有實根可套公式,沒有實根要告之;根的判別式△=b2-4ac,這里可以分為3種情況:1、當△>0時,一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時,一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時,一元二次方程沒有實數(shù)根才能得出正確答案.

          練習冊系列答案
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          ①求證:PE2+PF2=2(PM2+EM2);
          ②已知PE=PF=3,以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF,若1<PD<2,試求CP的取值范圍.

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