Question

如圖所示：直線MN⊥RS于點(diǎn)O，點(diǎn)B在射線OS上，OB=2，點(diǎn)C在射線ON上，OC=2，點(diǎn)E是射線OM上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB，過O作OP⊥EB于P，連接CP，過P作PF⊥PC交射線OS于F．

（1）求證：△POC∽△PBF．
（2）當(dāng)OE=1，OE=2時(shí)，BF的長分別為多少？當(dāng)OE=n時(shí)，BF=

4

n

．
（3）當(dāng)OE=1時(shí)，S_△EBF=S₁；OE=2時(shí)，S_△EBF=S₂；…，OE=n時(shí)，S_△EBF=S_n．則S₁+S₂+…+S_n=

2n

．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠OPB=∠CPF，得出∠OPC=∠BPF，再根據(jù)∠EOP=∠EOB=90，得出∠EOP=∠OBP，∠POC=∠PBF，即可證出△POC∽△PBF；                
（2）根據(jù)△POC∽△PBF，得出

OC

BF

=

PO

PB

，再根據(jù)△OPB∽△EOB，得出OE•BF=OC•OB=4，即可求出BF的長；
（3）根據(jù)已知條件當(dāng)OE=1時(shí)，S_△EBF=S₁；OE=2時(shí)，S_△EBF=S₂；…，OE=n時(shí)，S_△EBF=S_n即可求出S₁+S₂+…+S_n=2n；

解答：解：（1）證明：∵∠OPB=∠CPF
∴∠OPC=∠BPF，
∵∠EOP=∠EOB=90，
∴∠EOP=∠OBP
∴∠POC=∠PBF
∴△POC∽△PBF；                 

（2）根據(jù)△POC∽△PBF
∴

OC

BF

=

PO

PB

，
∵△OPB∽△EOB
∴

PO

PB

=

OE

OB

，
∴

OC

BF

=

OE

OB

，
∴OE•BF=OC•OB=4                      
∴當(dāng)OE=1時(shí)，BF=4；
當(dāng)OE=2時(shí)，BF=2，
當(dāng)OE=n時(shí)，BF=

4

n

；

（3）根據(jù)題意得；
S₁+S₂+…+S_n=2n；
故答案為：2n．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行解答，此題是一個(gè)綜合題，難度適中．