Question

【題目】如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D→A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x（長(zhǎng)度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度；

（2）求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（1）中，設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍．
（4）如果點(diǎn)P、Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，過(guò)B作BF⊥OA于F，

∵A（0，10），

∴OA=10，

∵B（8，4），

∴BF=8，OF=4，

∴AF=10﹣4=6，

∴AB=10，

由圖②知：點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為10秒，所以速度為：10÷10=1，

Q（1，0），

則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；

（2）

解：如圖③，過(guò)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BF=8，OF=BE=4，

由（1）知：AF=6，AB=10；

過(guò)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，

∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴△ABF≌△BCH，

∴BH=AF=6，CH=BF=8，

∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，

∴所求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，12）；

（3）

解：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，

∴PM∥BF，

則△APM∽△ABF，

∴ ，

∴ = = ，

∴AM= ，PM= t，

∴PN=OM=10﹣ t，ON=PM= t，

∴S=S△OPQ= PNOQ

= ×（10﹣ t）（1+t）=﹣ （0≤t≤10）；

（4）

解：OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的一半時(shí)，滿足條件；

①當(dāng)P在AB上時(shí)，如圖③， t= （t+1），t= ，OP與PQ相等，

②當(dāng)P在BC上時(shí)，如圖④，則PB=t﹣10，

sin∠ABF=sin∠BPM= ，

∴ ，

∴BM= （t﹣10），

∴ON=BF+BM=8+ （t﹣10），

8+ （t﹣10）= （t+1），解得：t=﹣15（舍），

③當(dāng)P在CD上時(shí)，如圖⑤，則PC=t﹣20，

cos∠PCR=cos∠BCH= ，

∴ ，

∴CR=MH= （t﹣20），

∴ON=OG﹣NG=FH﹣MH=14﹣ （t﹣20），

14﹣ （t﹣20）= （t+1），解得：t= ，

即當(dāng)t= 時(shí)，OP=PQ，

綜上所述，當(dāng)t= 或 時(shí)，OP與PQ相等．

【解析】（1）由A和B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求正方形邊長(zhǎng)AB，由圖②得：P在邊AB上運(yùn)動(dòng)10秒，Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，橫坐標(biāo)為1；（2）由（1）知，正方形邊長(zhǎng)為10，根據(jù)三角形全等得：BH=AF=6，CH=BF=8，所以可得OG=14，CG=12，寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）作輔助線，證明△APM∽△ABF，列比例式得：AM= ，PM= t，根據(jù)面積公式可得S與t的關(guān)系式；（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的一半；分三種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)P分別在AB、BC、CD上時(shí)，根據(jù)這一等量關(guān)系列式可得t的值．