Question

【題目】一個(gè)四邊形被一條對角線分割成兩個(gè)三角形，如果分割所得的兩個(gè)三角形相似，我們就把這條對角線稱為相似對角線.

（1）如圖，正方形的邊長為4，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊和上，且，線段與交于點(diǎn)，求證：為四邊形的相似對角線；

（2）在四邊形中，是四邊形的相似對角線，，，，求的長；

（3）如圖，已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，若是四邊形的相似對角線，請直接寫出線段的長度（寫出3個(gè)即可）.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）或3；（3）詳見解析.

【解析】

（1）只要證明△EAF∽△FEG即可解決問題；
（2）如圖3中，作DE⊥BA交BA的延長線于E．設(shè)AE=a．在Rt△BDE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，分兩種情形構(gòu)建方程求解即可；
（3）①當(dāng)△AFE∽△EFC時(shí)，連接BC，AC，BD．②當(dāng)△AFE∽△FEC時(shí)，作CH⊥AD交AD的延長線于H，作OM⊥AD于M，連接OA．③當(dāng)△AFE∽△CEF時(shí)，分別求解即可，注意答案不唯一．

解：（1）如圖1，∵正方形中，，為中點(diǎn)

∴，∵，∴

∴

∴，

∵，∴四邊形為平行四邊形

∴，∴，

∴

∴為四邊形的相似對角線.

（2）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)

∵，∴，∴

∵，

∴

（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

∴

分為兩種情況：

①如圖3，當(dāng)時(shí)，

∴，∴

②如圖4，當(dāng)時(shí)，

∴，∴

綜上，或3

（3）①如圖5，∵∠FEC=∠A=90°，∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF，

∴，，∴，∴

由“一線三等角”得.

②如圖，當(dāng)△AFE∽△FEC時(shí)，作CH⊥AD交AD的延長線于H，作OM⊥AD于M，連接OA．

∵△AFE∽△FEC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴AD∥EC，
∴∠CEB=∠DAB=90°，
∵∠OMA=∠AHC=90°，
∴四邊形AEOM，四邊形AECH都是矩形，
∵OM⊥AD，
∴AM=MD=3，
∴AM=OE=3，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=4，
∴OA==5，
∴CE=AH=8，設(shè)AF=x，則FH=8-x，CH=AE=4，
由△AEF∽△HFC，可得= ，
∴，
解得x=4，
經(jīng)檢驗(yàn)x=4是分式方程的解，
∴AF=4．

③如圖當(dāng)△AFE∽△CEF時(shí)易證四邊形AECF是矩形，AF=EC=8．

綜上所述，滿足條件的AF的長為或4或8．（答案不唯一）