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        1. 【題目】如圖1,拋物線y=x2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1),直線AD交拋物線于另一點(diǎn)E,點(diǎn)P是第二象限拋物線上的一點(diǎn),作PQy軸交直線AE于Q,作PGAD于G,交x軸于點(diǎn)H

          (1)求線段DE的長(zhǎng);

          (2)設(shè)d=PQPH,當(dāng)d的值最大時(shí),在直線AD上找一點(diǎn)K,使PK+EK的值最小,求出點(diǎn)K的坐標(biāo)和PK+EK的最小值;

          (3)如圖2,當(dāng)d的值最大時(shí),在x軸上取一點(diǎn)N,連接PN,QN,將PNQ沿著PN翻折,點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q,在x軸上是否存在點(diǎn)N,使AQQ是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.

          【答案】(1)8.(2)K(2,3),最小值為8.(3)滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為(65,0)或(,0)或(3,0)或(65,0).

          【解析】

          試題分析:(1)先求出點(diǎn)A坐標(biāo),求出直線AD的解析式,利用方程組求出點(diǎn)E坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間距離公式即可解決問題.

          (2)構(gòu)建二次函數(shù),求出d最大時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo),作EMPQ交PQ的延長(zhǎng)線于M,作KNEM于N.只要證明PM就是PK+EK的最小值即可解決問題.

          (3)分四種情形如圖2中,當(dāng)QQ=AQ時(shí),QPQ=QPA=30°,NPE=NPQ=15°,連接PA,在PF上取一點(diǎn)E,使得PE=EN.設(shè)FN=x,則PE=EN=2x,EF=x,列出方程求解即可.如圖3中,當(dāng)N與A重合時(shí)AQQ是等腰三角形.此時(shí)N(,0).如圖4中,當(dāng)N與B重合時(shí),AQQ是等腰三角形,此時(shí)N(3,0).如圖5中,當(dāng)QQ=QA,易知PNF=PQQ=PQQ=15°,在FN上取一點(diǎn)E,使得PE=BE.在RtPEF中解直角三角形即可解決問題.

          試題解析:(1)對(duì)于拋物線y=x2x+3,

          令y=0,得x2x+3=0,解得x=3,A(,0),B(3,0),

          D(0,1),

          設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,則有解得,

          直線AD的解析式為y=x1.

          解得,點(diǎn)E坐標(biāo)為(4,5),

          DE==8.

          (2)如圖1中,設(shè)P(m, m2x+3)則Q(m, m1).

          tanOAD==,∴∠OAD=30°,PGAE,∴∠AGH=90°,∴∠AHG=PHF=60°,

          PH=,

          d=PQPH=m2m+3×m2m+3)=(m+22+,

          ∵﹣<0,

          m=2時(shí),d的值最大,P(2,3),

          作EMPQ交PQ的延長(zhǎng)線于M,作KNEM于N.

          ∵∠AEM=OAD=30°,

          KN=EK,QM=EQ,

          PK+EK=PK+KNPM,

          當(dāng)K與Q重合時(shí),PK+EK的值最小,

          此時(shí)K(23),最小值為8.

          (3)如圖2中,連接PA,在PF上取一點(diǎn)E,使得PE=EN.

          PF=3,AF=3,tanAFP=∴∠PAF=30°,PAQ=60°PF=FQ,AFPQ,

          AP=AQ,∴△PAQ是等邊三角形,當(dāng)QQ=AQ時(shí),QPQ=QPA=30°,NPE=NPQ=15°,

          ∴∠NEF=30°,設(shè)FN=x,則PE=EN=2x,EF=x,PF=3,2x+x=3,x=63,

          OF=26+3=56,N(65,0).

          如圖3中,當(dāng)N與A重合時(shí)AQQ是等腰三角形.此時(shí)N(,0).

          如圖4中,當(dāng)N與B重合時(shí),AQQ是等腰三角形,此時(shí)N(3,0).

          如圖5中,當(dāng)QQ=QA,易知PNF=PQQ=PQQ=15°,在FN上取一點(diǎn)E,使得PE=BE.

          在RtPEF中,PF=3,PEF=30°,PE=NE=2PF=6,EF=PF=3,

          ON=6+5,N(65,0).

          綜上所述,滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為(65,0)或(,0)或(3,0)或(65,0).

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