Question

【題目】如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的延長(zhǎng)線向右運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)，都以的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中與相交于點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）求證：在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)始終是線段的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）秒；（2）證明見解析

【解析】

（1）經(jīng)過分析當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，只有∠ADE=90°的情況，此時(shí)∠AED=30°．用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t表示出AD和AE，根據(jù)30度直角三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于t的方程即可求解；

（2）過D點(diǎn)作DK∥AB交BC于點(diǎn)K，證明△DKP≌△EBP即可說明點(diǎn)P始終是線段DE的中點(diǎn)．

解：（1）中，，

所以若是直角三角形，只能

中，得，∠AED=30°

∴

設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間也為．

∴，

∴，解得

所以當(dāng)是直角三角形時(shí)，，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)

∵等邊三角形中．，

且

∴

∴為等邊三角形

∴，

設(shè)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則

在與中

∴

∴

∴始終為的中點(diǎn)