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        1. 【題目】如圖,二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0),與y軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發(fā),都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動.

          (1)求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo);
          (2)當(dāng)點P運動到B點時,點Q停止運動,這時,在x軸上是否存在點E,使得以A,E,Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請求出E點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          (3)當(dāng)P,Q運動到t秒時,△APQ沿PQ翻折,點A恰好落在拋物線上D點處,請判定此時四邊形APDQ的形狀,并求出D點坐標(biāo).

          【答案】
          (1)

          解:∵二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0),

          ,

          解得

          ∴y= x2 x﹣4.

          ∴C(0,﹣4)


          (2)

          解:方法(1):存在.

          如圖1,過點Q作QD⊥OA于D,此時QD∥OC,

          ∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),O(0,0),

          ∴AB=4,OA=3,OC=4,

          ∴AC= =5,

          ∵當(dāng)點P運動到B點時,點Q停止運動,AB=4,

          ∴AQ=4.

          ∵QD∥OC,

          ,

          ∴QD= ,AD=

          ①作AQ的垂直平分線,交AO于E,此時AE=EQ,即△AEQ為等腰三角形,

          設(shè)AE=x,則EQ=x,DE=AD﹣AE=| ﹣x|,

          ∴在Rt△EDQ中,( ﹣x)2+( 2=x2,解得 x=

          ∴OA﹣AE=3﹣ =﹣ ,

          ∴E(﹣ ,0),

          說明點E在x軸的負半軸上;

          ②以Q為圓心,AQ長半徑畫圓,交x軸于E,此時QE=QA=4,

          ∵ED=AD= ,

          ∴AE= ,

          ∴OA﹣AE=3﹣ =﹣ ,

          ∴E(﹣ ,0).

          ③當(dāng)AE=AQ=4時,

          (i).當(dāng)E在A點左邊時,

          ∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1,

          ∴E(﹣1,0).

          (ii).當(dāng)E在A點右邊時,

          ∵OA+AE=3+4=7,

          ∴E(7,0).

          綜上所述,存在滿足條件的點E,點E的坐標(biāo)為(﹣ ,0)或(﹣ ,0)或(﹣1,0)或(7,0)

          方法二:

          ∵點P、Q同時從A點出發(fā),都已每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC運動.過點Q作x軸垂線,垂足為H.

          ∵A(3,0),C(0,4),

          ∴l(xiāng)AC:y= x﹣4,

          ∵點P運動到B點時,點Q停止運動,

          ∴AP=AQ=4,

          ∴QH= ,Qy=﹣ ,

          代入LAC:y= x﹣4得,Qx= ,則Q( ,﹣ ),

          ∵點E在x軸上,

          ∴設(shè)E(a,0),

          ∵A(3,0),Q( ,﹣ ),△AEQ為等腰三角形,

          ∴AE=EQ,AE=AQ,EQ=AQ,

          ∴(a﹣3)2=(a﹣ )2+(0+ )2,∴a=﹣

          (a﹣3)2=(3﹣ )2+(0+ )2,∴a1=7,a2=﹣1,

          (a﹣ )2+(0+ )2=(3﹣ )2+(0+ )2,∴a1=﹣ ,a2=3(舍)

          ∴點E的坐標(biāo)為(﹣ ,0)或(﹣ ,0)或(﹣1,0)或(7,0)


          (3)

          解:方法(1):四邊形APDQ為菱形,D點坐標(biāo)為(﹣ ,﹣ ).理由如下:

          如圖2,D點關(guān)于PQ與A點對稱,過點Q作,F(xiàn)Q⊥AP于F,

          ∵AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,

          ∴AP=AQ=QD=DP,

          ∴四邊形AQDP為菱形,

          ∵FQ∥OC,

          ,

          ∴AF= ,F(xiàn)Q= ,

          ∴Q(3﹣ ,﹣ ),

          ∵DQ=AP=t,

          ∴D(3﹣ ﹣t,﹣ ),

          ∵D在二次函數(shù)y= x2 x﹣4上,

          ∴﹣ = (3﹣ t)2 (3﹣ t)﹣4,

          ∴t= ,或t=0(與A重合,舍去),

          ∴D(﹣ ,﹣

          方法二:

          ∵P,Q運動到t秒,

          ∴設(shè)P(3﹣t,0),Q(3﹣ t,﹣ t),

          ∴KPQ= ,KPQ=﹣2,

          ∵AD⊥PQ,

          ∴KPQKAD=﹣1,

          ∴KAD= span> ,

          ∵A(3,0),

          ∴l(xiāng)AD:y= x﹣

          ∵y= ,

          ∴x1=3(舍),x2=﹣ ,

          ∴D(﹣ ,﹣ ),

          ∵DY=QY,即﹣ t=﹣ ,t= ,DQ∥AP,DQ=AQ=AP,此時四邊形APDQ的形狀為菱形.


          【解析】(1)將A,B點坐標(biāo)代入函數(shù)y= x2+bx+c中,求得b、c,進而可求解析式及C坐標(biāo).(2)等腰三角形有三種情況,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分線,畫圓易得E大致位置,設(shè)邊長為x,表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo).(3)注意到P,Q運動速度相同,則△APQ運動時都為等腰三角形,又由A、D對稱,則AP=DP,AQ=DQ,易得四邊形四邊都相等,即菱形.利用菱形對邊平行且相等等性質(zhì)可用t表示D點坐標(biāo),又D在E函數(shù)上,所以代入即可求t,進而D可表示.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在四邊形ABCD中,CA平分∠DCB,∠ADC=∠BAC=90°.

          (1)求證:AC2=BCDC;
          (2)若BC=5,DC=1,求線段AD的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,點A,B的坐標(biāo)分別為(0,8),(﹣3,0),點P從點A出發(fā),以2單位/秒的速度沿射線AO方向運動,同時點E從點B出發(fā),以1單位/秒的速度沿射線BO方向運動,以PE為斜邊構(gòu)造Rt△PEC(字母按逆時針順序),且EC=2PC,拋物線y=﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(0,4),(﹣1,﹣2),設(shè)運動時間為t秒.

          (1)求該拋物線的表達式;
          (2)當(dāng)t=2時,求點C的坐標(biāo);
          (3)①當(dāng)t<3時,求點C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示);
          ②在運動過程中,若點C恰好落在該拋物線上,請直接寫出所有滿足條件的t的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在方格紙中,已知格點ABC和格點O

          (1)畫出ABC關(guān)于點O對稱的ABC′;

          (2)若以點A、O、CD為頂點的四邊形是平行四邊形,則點D的坐標(biāo)為__.(寫出所有可能的結(jié)果)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且∠ABC=60°,AB=BC,△ACD的外接圓⊙O交BC于E點,連接DE并延長,交AC于P點,交AB延長線于F.
          (1)求證:CF=DB;
          (2)當(dāng)AD= 時,試求E點到CF的距離.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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          A. cm
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          D.3cm

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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          (1)指出圖中∠AOD的補角和∠BOE的補角;

          (2)若∠BOC=68°,求∠COD和∠EOC的度數(shù);

          (3)COD與∠EOC具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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          (1)填空:記為 , ), 記為 );

          (2)若甲蟲的行走路線為:,請你計算甲蟲走過的路程.

          (3)若這只甲蟲去Q的行走路線依次為:A→M(+2,+2),M→N(+2,-1),N→P(-2,+3),P→Q(-1,-2),請依次在圖2標(biāo)出點M、N、P、Q的位置.

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          同步練習(xí)冊答案