Question

【題目】如圖①，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，∠ABD=30°，AD=1．將△BCD沿射線BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'為BD中點(diǎn)，連接AB'，C'D，AD'，BC'，如圖②．

（1）求證：四邊形AB'C'D是菱形；
（2）四邊形ABC'D′的周長(zhǎng)為；
（3）將四邊形ABC'D'沿它的兩條對(duì)角線剪開，用得到的四個(gè)三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫出所有可能拼成的矩形周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD是矩形ABCD的對(duì)角線，∠ABD=30°，

∴∠ADB=60°，

由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，

∴AD∥B'C'

∴四邊形AB'C'D是平行四邊形，

∵B'為BD中點(diǎn)，

∴Rt△ABD中，AB'= BD=DB'，

又∵∠ADB=60°，

∴△ADB'是等邊三角形，

∴AD=AB'，

∴四邊形AB'C'D是菱形；

（2）4
（3）解：將四邊形ABC'D'沿它的兩條對(duì)角線剪開，用得到的四個(gè)三角形拼成與其面積相等的矩形如下：

∴矩形周長(zhǎng)為6+ 或2 +3．

【解析】（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，

∴AB∥C'D'，

∴四邊形ABC'D'是平行四邊形，

由（1）可得，AC'⊥B'D，

∴四邊形ABC'D'是菱形，

∵AB= AD= ，

∴四邊形ABC'D′的周長(zhǎng)為4 ，

所以答案是：4 ；

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等，以及對(duì)平移的性質(zhì)的理解，了解①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化；②經(jīng)過平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等．