Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)D、E．
（1）若拋物線y=

1

4

x2+bx+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式并判斷點(diǎn)B是否在此拋物線上．
（2）若在（1）中的拋物線的對稱軸有一點(diǎn)P，使得△PBD的周長最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)M為（1）中拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為其對稱軸上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）據(jù)圓的圓心坐標(biāo)A（3，0），以及圓的半徑，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)C（8，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)B（-2，0），然后由勾股定理，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)（0，-4），將C，D坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得拋物線的解析式．將B點(diǎn)代入，即可判斷是否在拋物線上．
（2）要使△PBD的周長最短，由于邊BD是定值，只需PB+PD最小即可；
（3）此題要分兩種情況討論：①以BC角線的平行四邊形，此時MD∥x軸，則M、D的縱坐標(biāo)相同，由此可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
②以BC的平行四邊，由于平行四邊形是中心對稱圖形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N縱坐標(biāo)的絕對值相等

解答：解：（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）
將C、D兩點(diǎn)代入得：

1 4 ×82+8b+c=0 c=-4

，
解得b=-

3

2

，c=-4，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x2-

3

2

x-4
∵

1

4

(-2)2-

3

2

×(-2)-4=0，
∴點(diǎn)B在這條拋物線上．

（2）要使△PBD的周長最短，由于邊BD是定值，只需PB+PD最小，
∵點(diǎn)B、C關(guān)于對稱軸x=3對稱，
∴直線CD與對稱軸x=3的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+m．將C、D兩點(diǎn)代入，得

8k+m=0 m=-4

，
解得k=

1

2

，m=-4，
∴直線CD的解析式為y=

1

2

x-4當(dāng)x=3時，y=-

5

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-2.5）．

（3）存在．
M（-7，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（13，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（3，-

25

4

），N（3，

25

4

）

點(diǎn)評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，需注意的是（3）題在不確定平行四邊形邊和對角線的情況下需要分類討論，以免漏解．