Question

我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．事實(shí)上，勾是三時(shí)，股和弦的算式分別是

1

2

(9-1)，

1

2

(9+1)；勾是五時(shí)，股和弦的算式分別是

1

2

(25-1)，

1

2

(25+1)．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時(shí)，股和弦的算式；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請(qǐng)寫出兩種），并對(duì)其中一種猜想加以證明；
（3）繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)．運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來(lái)表示股和弦．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)推論即可發(fā)現(xiàn)：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系運(yùn)用字母表示即可，然后發(fā)現(xiàn)勾、股、弦之間的關(guān)系，并驗(yàn)證；
（3）發(fā)現(xiàn)：股和弦總是相差為2．主要是考慮勾和股之間的關(guān)系即是勾的一半的平方再減1．

解答：解：（1）

1

2

(72-1)，

1

2

(72+1)；

（2）當(dāng)n≥3，且n為奇數(shù)時(shí)，勾、股、弦分別為：n，

1

2

(n2-1)，

1

2

(n2+1)
它們之間的關(guān)系為：（ⅰ）弦-股=1，（ⅱ）勾²+股²=弦²
如證明（ⅰ），弦-股=

1

2

(n2+1)-

1

2

(n2-1)=

1

2

n2+

1

2

-

1

2

n2+

1

2

=1；

（3）當(dāng)m＞4，且m為偶數(shù)時(shí)，勾、股、弦分別為：m，(

m

2

)2-1，(

m

2

)2+1，它們的股和弦．

點(diǎn)評(píng)：能夠根據(jù)具體數(shù)字發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用字母表示推廣到一般．