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        1. 【題目】結(jié)果如此巧合!

          下面是小穎對(duì)一道題目的解答.

          題目:如圖,RtABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.

          解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F,CE的長(zhǎng)為x.

          根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

          根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2

          整理,得x2+7x=12.

          所以SABC=ACBC

          =(x+3)(x+4)

          =(x2+7x+12)

          =×(12+12)

          =12.

          小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于ADBD的積.這僅僅是巧合嗎?

          請(qǐng)你幫她完成下面的探索.

          已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D,AD=m,BD=n.

          可以一般化嗎?

          (1)若∠C=90°,求證:△ABC的面積等于mn.

          倒過來(lái)思考呢?

          (2)若ACBC=2mn,求證∠C=90°.

          改變一下條件……

          (3)若∠C=60°,用m、n表示△ABC的面積.

          【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)SABC=mn;

          【解析】

          1)設(shè)ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F,CE的長(zhǎng)為x,仿照例題利用勾股定理得(xm2+(xn2=(mn2,再根據(jù)SABCAC×BC,即可證明SABCmn.(2)由ACBC=2mn,得x2+(mnxmn,因此AC2BC2=(xm2+(xn2AB2,利用勾股定理逆定理可得∠C=90°.(3)過點(diǎn)AAGBC于點(diǎn)G,在RtACG中,根據(jù)條件求出AG、CG,又根據(jù)BGBCCG得到BG .RtABG中,根據(jù)勾股定理可得x2+(mnx=3mn,由此SABCBCAGmn.

          設(shè)ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)EF,CE的長(zhǎng)為x,

          根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得:AEADmBFBDn、CFCEx,

          (1)如圖1,

          RtABC中,根據(jù)勾股定理,得:(xm2+(xn2=(mn2,

          整理,得:x2+(mnxmn

          所以SABCACBC

          xm)(xn

          [x2+(mnxmn]

          mnmn

          mn;

          (2)由ACBC=2mn,得:(xm)(xn)=2mn,

          整理,得:x2+(mnxmn,

          AC2BC2=(xm2+(xn2

          =2[x2+(mnx]+m2n2

          =2mnm2n2

          =(mn2

          AB2,

          根據(jù)勾股定理逆定理可得∠C=90°;

          (3)如圖2,過點(diǎn)AAGBC于點(diǎn)G

          RtACG中,AGACsin60°=xm),CGACcos60°=xm),

          BGBCCG=(xn)﹣xm),

          RtABG中,根據(jù)勾股定理可得:[xm)]2+[(xn)﹣xm)]2=(mn2,

          整理,得:x2+(mnx=3mn,

          SABCBCAG

          ×(xnxm

          [x2+(mnxmn]

          ×(3mnmn

          mn

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)求m的值和一次函數(shù)的解析式;

          (2)設(shè)一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象與y軸交于點(diǎn)B,求△AOB的面積;

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          1)求A、B兩種車型各有多少個(gè)座位;

          2)若A型車日租金為350元,B型車日租金為400元,且租車公司最多能提供7B型車,應(yīng)怎樣租車能使座位恰好坐滿且租金最少,并求出最少租金.

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          1)如圖1,求證:KE=GE;

          2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=ACH,求證:CAFE

          3)如圖3,在(2)的條件下,連接CGAB于點(diǎn)N,若sinE=,AK=,求CN的長(zhǎng).

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