Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+

5

2

與直線ABy=

1

2

x+

1

2

交于x軸上的一點(diǎn)A，和另一點(diǎn)B（4，n）．點(diǎn)P是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），直線PQ與直線AB垂直，交直線AB于點(diǎn)Q，．
（1）求拋物線的解析式和cos∠BAO的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng)，并求出線段PQ長(zhǎng)的最大值；
（3）點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AC，交直線AB與點(diǎn)F，若以E、F、A、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令直線AB解析式中y=0求出x的值，確定出A的坐標(biāo)，將B坐標(biāo)代入直線AB解析式中求出n的值，確定出B坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出a與b的值，即可確定出拋物線解析式；過B作BH垂直于x軸，由B坐標(biāo)求出OH與BH的長(zhǎng)，根據(jù)OA+OH求出AH的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，在直角三角形ABH中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出cos∠BAO的值；
（2）過P作PM平行于y軸，交直線AB解析式于點(diǎn)M，PM的長(zhǎng)等于P的縱坐標(biāo)減去M縱坐標(biāo)，表示出即可；由∠BAH=∠MPQ，得到兩角的余弦值相等，在直角三角形MPQ中，由PM表示出PQ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值；
（3）由C坐標(biāo)及直線AB解析式，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出C到直線AB的距離，設(shè)E坐標(biāo)為（a，-

1

2

a²+2a+

5

2

），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到E到直線AB的距離等于C到直線AB的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出滿足題意E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把y=0代入y=

1

2

x+

1

2

得：x=-1，
∴A（-1，0），
把點(diǎn)B（4，n）代入y=

1

2

x+

1

2

得：n=

5

2

，
∴B（4，

5

2

），
把A（-1，0）、B（4，

5

2

）代入y=ax²+bx+

5

2

得：

a-b+ 5 2 =0 16a+4b+ 5 2 = 5 2

，
解得：

a=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x²+2x+

5

2

，
過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，則BH=2.5，OH=4，
∴AH=5，
由勾股定理得：AB=

AH2+BH2

=

5 5

2

，
∴cos∠BAO=

AH

AB

=

5

5 5 2

=

2 5

5

；
（2）過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線AB于點(diǎn)M，
P（m，-

1

2

m²+2m+

5

2

），M（m，

1

2

m+

1

2

）
∴PM=（-

1

2

m²+2m+

5

2

）-（

1

2

m+

1

2

）=-

1

2

m²+

3

2

m+2，
∵∠BAH=∠MPQ，
∴PQ=PMcos∠MPQ=PMcos∠BAH=

2 5

5

（-

1

2

m²+

3

2

m+2）=-

5

5

m²+

3 5

5

m+

4 5

5

，
∵-

5

5

＜0，
∴當(dāng)m=-

3 5 5

2×(- 5 5 )

=

3

2

時(shí)，PQ最大值=

5 5

4

；
（3）設(shè)E（a，-

1

2

a²+2a+

5

2

），
∵C（0，

5

2

），直線AB解析式為y=

1

2

x+

1

2

，
∴點(diǎn)C到直線AB的距離d=

|- 5 2 + 1 2 |

( 1 2 )2+( 1 2 )2

=2

2

，
∴E到直線AB的距離d=

| 1 2 a+ 1 2 a2-2a- 5 2 |

( 1 2 )2+( 1 2 )2

=2

2

，即|

1

2

a²-

3

2

a-2|=2，
整理得：a²-3a-8=0或a²-3a=0，
解得：a=

3+ 41

2

或a=

3- 41

2

或a=0（與C重合，舍去）或a=3，
則E坐標(biāo)為（3，4），（

3+ 41

2

，

-3+7 41

4

），（

3- 41

2

，

-3- 41

4

）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，點(diǎn)到直線的距離公式，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及點(diǎn)到直線的距離公式是解本題的關(guān)鍵．