Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．下面五個(gè)結(jié)論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有當(dāng)a=

1

2

時(shí)，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值可以有三個(gè)．那么，其中正確的結(jié)論是______．

Answer 1

①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，
∴AB=4，
∴對(duì)稱軸x=-

b

2a

=1，
即2a+b=0；
②由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，而-

b

2a

＞0
∴b＜0，
∵對(duì)稱軸x=1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0；

③∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，
∴當(dāng)x=2時(shí)y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
又∵b＜0，
∴4a+b+c＜0；

④要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長(zhǎng)的一半；
D到x軸的距離就是當(dāng)x=1時(shí)y的值的絕對(duì)值．
當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵當(dāng)x=1時(shí)y＜0，
∴a+b+c=-2
又∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，
∴當(dāng)x=-1時(shí)y=0即a-b+c=0；
x=3時(shí)y=0．
∴9a+3b+c=0，
解這三個(gè)方程可得：b=-1，a=

1

2

，c=-

3

2

；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
當(dāng)AB=BC=4時(shí)，
∵AO=1，△BOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c²=16-9=7，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，
∴c=-

7

，
與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=

7

3

；
同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)
∵AO=1，△AOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c²=16-1=15，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，
∴c=-

15

與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=

15

3

；
同理當(dāng)AC=BC時(shí)
在△AOC中，AC²=1+c²，
在△BOC中BC²=c²+9，
∵AC=BC，
∴1+c²=c²+9，此方程無(wú)解．
經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件．
故正確的有①④．