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        1. 【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x軸于A,B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G.

          (1)求拋物線的解析式;
          (2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點(diǎn))上平行移動,分別交x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)P,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請用含m的代數(shù)式表示PM的長;
          (3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似?若存在,求出此時(shí)m的值,并直接判斷△PCM的形狀;若不存在,請說明理由.

          【答案】
          (1)解:∵拋物線y=ax2﹣2ax+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,4),

          ,解得 ,

          ∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4


          (2)解:設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

          ∵A(3,0),點(diǎn)C(0,4),

          ,解得 ,

          ∴直線AC的解析式為y=﹣ x+4.

          ∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)M在AC上,

          ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,﹣ m+4),

          ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P在拋物線y=﹣ x2+ x+4上,

          ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,﹣ m2+ m+4),

          ∴PM=PE﹣ME=(﹣ m2+ m+4)﹣(﹣ m+4)=﹣ m2+4m,

          即PM=﹣ m2+4m(0<m<3)


          (3)解:在(2)的條件下,連結(jié)PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似.理由如下:

          由題意,可得AE=3﹣m,EM=﹣ m+4,CF=m,若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似,P點(diǎn)在F上,PF=﹣ m2+ m+4﹣4=﹣ m2+ m.情況:

          ①若△PFC∽△AEM,則PF:AE=FC:EM,

          即(﹣ m2+ m):(3﹣m)=m:(﹣ m+4),

          ∵m≠0且m≠3,

          ∴m=

          ∵△PFC∽△AEM,

          ∴∠PCF=∠AME,

          ∵∠AME=∠CMF,

          ∴∠PCF=∠CMF.

          在直角△CMF中,

          ∵∠CMF+∠MCF=90°,

          ∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°,

          ∴△PCM為直角三角形;

          ②若△CFP∽△AEM,則CF:AE=PF:EM,

          即m:(3﹣m)=(﹣ m2+ m):(﹣ m+4),

          ∵m≠0且m≠3,

          ∴m=1.

          ∵△CFP∽△AEM,

          ∴∠CPF=∠AME,

          ∵∠AME=∠CMF,

          ∴∠CPF=∠CMF.

          ∴CP=CM,

          ∴△PCM為等腰三角形.

          綜上所述,存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似.此時(shí)m的值為 或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形.


          【解析】(1)把AC兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可;(2)豎直線段的長等于上縱減下縱,用m的代數(shù)式表示P、M的縱坐標(biāo),二者相減即可;(3)兩三角形的相似須分類討論:△PFC∽△AEM或△CFP∽△AEM;由邊方面的關(guān)系相等或角之間的關(guān)系可判定△PCM為直角三角形或等腰三角形.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,有點(diǎn) Aa1,3),Ba+2,2a1

          (1)若線段ABx軸,求點(diǎn)AB的坐標(biāo);

          (2)當(dāng)點(diǎn)Bx軸的距離是點(diǎn)Ay軸的距離2倍時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,點(diǎn)DAB的中點(diǎn).

          (1)如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動,同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動.

          ①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等,經(jīng)過1s后,BPDCQP是否全等,請說明理由;

          ②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時(shí),能夠使BPDCQP全等?

          (2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿ABC三邊運(yùn)動,求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在ABC的哪條邊上相遇?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】為了普及環(huán)保知識,增強(qiáng)環(huán)保意識,某大學(xué)某專業(yè)學(xué)院從本專業(yè)450人中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試,得分十分制情況如圖所示:

          30名學(xué)生的測試成績的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)分別是多少?

          學(xué)院準(zhǔn)備拿出2000元購買獎品獎勵測試成績優(yōu)秀的學(xué)生,獎品分為三等,成績?yōu)?/span>10分的為一等,成績?yōu)?/span>8分和9分的為二等,成績?yōu)?/span>7分的為三等;學(xué)院要求一等獎獎金,二等獎獎金,三等獎獎金分別占、,問每種獎品的單價(jià)各為多少元?

          如果該專業(yè)學(xué)院的學(xué)生全部參加測試,在問的獎勵方案下,請你預(yù)測該專業(yè)學(xué)院將會拿出多少獎金來獎勵學(xué)生,其中一等獎獎金為多少元?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,AB CD 相交于點(diǎn) O,∠C=COA,∠D=BOD.求證:ACBD.(補(bǔ)全下面的說理過程,并在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)睦碛桑?/span>

          證明:∵∠C=COA,∠D=BOD(      。

          又∠COA=BOD

          ∴∠C=    

          ACBD.(     。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在△ABC 中,CDABEFAB,垂足分別為DF

          1)若∠1=2,試說明DGBC

          2)若CD 平分∠ACB,∠A=60°,求∠B的度數(shù).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】1)如圖,∠MON80°,點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動,△AOB的角平分線ACBD交于點(diǎn)P.試問:隨著點(diǎn)A、B位置的變化,∠APB的大小是否會變化?若保持不變,請求出∠APB的度數(shù);若發(fā)生變化,求出變化范圍.

          2)兩條相交的直線OX、OY,使∠XOYn,在射線OX、OY上分別再任意取A、B兩點(diǎn),作∠ABY的平分線BD,BD的反向延長線交∠OAB的平分線于點(diǎn)C,隨著點(diǎn)A、B位置的變化,∠C的大小是否會變化?若保持不變,請求出∠C的度數(shù);若發(fā)生變化,求出變化范圍.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.

          (1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱____ ___,___ ;(2分)

          (2)如圖,已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn)),請你直接寫出所有以格點(diǎn)為頂點(diǎn),為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)。(3分)

          (3)如圖,將繞頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到,連結(jié),.求證:,即四邊形是勾股四邊形.(4分)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】下列命題:

          有一個(gè)角為的等腰三角形是等邊三角形;

          等腰直角三角形一定是軸對稱圖形;

          有一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;

          到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

          正確的個(gè)數(shù)有  

          A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)

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          同步練習(xí)冊答案