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        1. 【題目】如圖,PB為O的切線,B為切點(diǎn),直線PO交于點(diǎn)E,F(xiàn),過點(diǎn)B作PO的垂線BA,垂足為點(diǎn)D,交O于點(diǎn)A,延長AO與O交于點(diǎn)C,連接BC,AF.

          (1)求證:直線PA為O的切線;

          (2)試探究線段EF,OD,OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;

          (3)若BC=6,tanF,求cosACB的值和線段PE的長.

          【答案】(1)證明見解析;(2)EF2=4ODOP,證明見解析;(3),.

          【解析】

          試題分析:(1)連接OB,根據(jù)垂徑定理的知識,得出OA=OB,∠POA=∠POB,從而證明△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論;

          (2)先證明△OAD∽△OPA,由相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系,然后將EF=2OA代入關(guān)系式即可

          (3)根據(jù)題意可確定OD是△ABC的中位線,設(shè)AD=x,然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA,在Rt△AOD中,由勾股定理解出x的值,從而能求出cos∠ACB,再由(2)可得OA2=ODOP,代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長.

          試題解析:(1)如圖,連接OB,

          ∵PB是⊙O的切線,∴∠PBO=90°.

          ∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB.

          又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS).

          ∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴直線PA為⊙O的切線.

          (2)EF2=4ODOP,證明如下:

          ∵∠PAO=∠PDA=90°,∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°.

          ∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ,即OA2=ODOP.

          又∵EF=2OA,∴EF2=4ODOP.

          (3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3(三角形中位線定理).

          設(shè)AD=x,

          ∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3.

          在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,

          解得,x1=4,x2=0(不合題意,舍去).∴AD=4,OA=2x﹣3=5.

          ∵AC是⊙O直徑,∴∠ABC=90°.

          又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB=.

          ∵OA2=ODOP,∴3(PE+5)=25.∴PE=.

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