Question

已知，拋物線y=

1

2

x2-kx+(k+2)與x軸正半軸交于A、B兩點（A點在B點左邊），且AB=4．
（1）求k值；
（2）該拋物線與直線y=

1

2

x+2交于C、D兩點，求S_△ACD；
（3）該拋物線上是否存在不同于A點的點P，使S_△PCD=S_△ACD？若存在，求出P點坐標．
（4）若該拋物線上有點P，使S_△PCD=tS_△ACD，拋物線上滿足條件的P點有2個，3個，4個時，分別直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）此題要從AB=4入手，若設(shè)A、B點的橫坐標分別為x₁、x₂（x₁、x₂＞0），那么顯然有等量關(guān)系：|x₁-x₂|=4，即

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=4，而x₁+x₂、x₁x₂可由k表達出來，依據(jù)上面的等量關(guān)系即可得出k的值．
（2）首先聯(lián)立直線CD和拋物線的解析式求出C、D兩點的坐標，此時從圖上可看出△ACD是一個不規(guī)則的三角形，所以可過A作y軸的平行線，交直線CD于E，那么以線段AE為底，C、D橫坐標差的絕對值為高即可得出△ACD的面積．
（3）若設(shè)直線CD與y軸的交點為G，過點A作直線l₁∥CD交y軸于H，然后在y軸上取點L，使得GL=GH，再過L作直線l₂∥CD，那么直線l₁、l₂到直線CD的距離都等于點A到直線CD的距離，所以它們與拋物線的交點都是符合條件的P點．
（4）通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，在直線CD上方肯定有兩個P點，所以只考慮直線CD下方的P點個數(shù)，這就要抓住P點有三個或直線CD下方有一個P點的情況：P為平行于CD的直線與拋物線的唯一交點；若上述情況（P點有三個）中，t=α，那么：P點有兩個時，t＞α；P點有三個時，0＜t＜α．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜x₂，x₁、x₂＞0，則：
x₁+x₂=2k，x₁x₂=2（k+2）=2k+4
AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4，即：k²-2k-8=0
解得：k₁=-2，k₂=4
∵x₁+x₂＞0，即k＞0
∴k=4．

（2）由（1）知，拋物線的解析式：y=

1

2

x²-4x+6，點A（2，0）、B（6，0）；
聯(lián)立直線CD和拋物線的解析式，有：

y= 1 2 x+2 y= 1 2 x2-4x+6

，
解得

x1=1 y1= 5 2

、

x2=8 y2=6

即：C（1，

5

2

）、D（8，6）．
過A作直線AE∥y軸，交直線CD于E，則E（2，3），AE=3；
S_△ACD=

1

2

AE×|y_D-y_C|=

1

2

×3×7=

21

2

．

（3）如右圖，設(shè)直線CD與y軸的交點為G，過點A作l₁∥CD交y軸于H，取GH=GL，過L作l₂∥CD交y軸于L；
設(shè)直線l₁：y=

1

2

x+b₁，代入A（2，0），得：

1

2

×2+b₁=0，b₁=-1
即，直線l₁：y=

1

2

x-1，H（0，-1），GL=GH=3，L（0，5）；
同上，可求得，直線l₂：y=

1

2

x+5；
聯(lián)立直線l₁與拋物線的解析式，得：

y= 1 2 x-1 y= 1 2 x2-4x+6

，
解得

x1=2 y1=0

、

x2=7 y2= 5 2

即：P₁（7，

5

2

）；
聯(lián)立直線l₂與拋物線的解析式，得：

y= 1 2 x+5 y= 1 2 x2-4x+6

，
解得

x1= 9+ 73 2 y1= 29+ 73 4

、

x2= 9- 73 2 y2= 29- 73 4

即：P₂（

9+ 73

2

，

29+ 73

4

）、P₃（

9- 73

2

，

29- 73

4

）；
綜上，存在符合條件的P點，且坐標為 P₁（7，

5

2

）、P₂（

9+ 73

2

，

29+ 73

4

）、P₃（

9- 73

2

，

29- 73

4

）；
（4）當(dāng)滿足條件的P點有三個時，如右圖：
直線l₃∥CD，且直線l₃與拋物線只有唯一交點P；
設(shè)直線l₃：y=

1

2

x+b₃，聯(lián)立拋物線的解析式有：

1

2

x+b₃=

1

2

x²-4x+6，即：x²-9x+12-2b₃=0
△=81-4×（12-2b₃）=0，解得：b₃=-

33

8

即，直線l₃：y=

1

2

x-

33

8

，P（

9

2

，-

15

8

）；
過點P作直線PF∥y軸，交直線CD于F，則F（

9

2

，

17

4

）、PF=

49

8

；
S_△PCD=

1

2

PF×|y_D-y_C|=

1

2

×

49

8

×7=

343

16

，t=

S△PCD

S△ACD

=

343 16

21 2

=

49

24

；
綜上上面的計算結(jié)果和圖形來看：
當(dāng)0＜t＜

49

24

時，P點有四個；
當(dāng)t=

49

24

時，P點有三個；
當(dāng)t＞

49

24

時，P點有兩個．

點評：此題主要考查的是二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系以及三角形面積的解法；最后一題的難度較大，重點是抓住直線CD下方P點個數(shù)的情況，這就要從作圖入手來進行分析，由于涉及的情況較多，是容易漏解的地方．