Question

如圖，在平面直角坐標系中，點M在X軸上，⊙M與Y軸相切于O點，過點A（2，0）作⊙M的切線，切點為B點，已知：sin∠BAM=

1

2

．
（1）求⊙M的半徑r；
（2）求點B的坐標；
（3）若拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、M三點，求此拋物線的解析式；
（4）在y軸上是否存在點C，使△ABC為直角三角形？若存在，請求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可連接BM，根據(jù)sin∠A的正弦值，可得出BM：AM=1：2，也就是AM=2BM=OM+OA=BM+OA，因此BM=OA，即可求出r的值．
（2）可過B作BN⊥AM于N，那么ON就是B的橫坐標的絕對值，BN就是B的縱坐標．在直角三角形BMN中，已求的了半徑的長，又可求得∠BMA=60°，即可求出BN，MN的長，也就求出了ON的長，進而可得出B點的坐標．
（3）已經求的了A，B，M的坐標，可用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（可用交點式的二次函數(shù)通式來設二次函數(shù)）
（4）要分三種情況進行討論：
①當∠ABC=90°時，那么C點就在BM所在直線上，可在直角三角形MOC中，根據(jù)OM和∠CMO的度數(shù)求出OC的長，即可得出C的坐標．
②當∠BAC=90°時，那么∠OAC=60°，在直角三角形OAC中可根據(jù)OA的長求出OC的長，也就得出了C點的坐標
③當∠BCA=90°時，那么AB是斜邊，可設出C的坐標，然后用坐標系中兩點的距離公式分別表示出AC²，BC²，AB²，然后根據(jù)勾股定理即可求出C的坐標．

解答：解：（1）連接BM，則∠MBA=90°．
直角三角形MBA中，sin∠A=

BM

MA

=

1

2

，BM=r，MA=OM+AO=r+2．
因此

r

x+2

=

1

2

，r=2．

（2）過B作BN⊥AM于N，
∵sin∠A=30°
∴∠A=∠MBN=30°，∠BMN=60°
直角三角形BMN中，BM=2，∠BMN=60°，
因此MN=1，BN=

3

．
∴ON=OM-MN=1
因此B的坐標是（-1，

3

）．

（3）由于OM=2，
因此M的坐標是（-2，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x+2），
由于拋物線過B（-1，

3

）
可得：a（1-4）=

3

，a=-

3

3

因此拋物線的解析式為y=-

3

3

x²+

4 3

3

．

（4）可分三種情況：
①當∠ABC=90°時，C在直線BM上，
直角三角形MCO中，∠CMO=60°，OM=2，
因此OC=2

3

，即C點的坐標為（0，2

3

）
②當∠BAC=90°時，那么∠OAC=90°-∠BAM=60°，直角三角形OAC中
OC=OA•tan60°=2

3

，即C點的坐標為（0，-2

3

）
③當∠BCA=90°時，設C點坐標為（0，y），則
AC²=4+y²，BC²=（

3

-y）²+1，AB²=3+9=12，
根據(jù)勾股定理可得：BC²+AC²=AB²
4+y²+（

3

-y）²+1=12，
解得y=

3 ± 11

2

，
綜上所述，C點的坐標應該是（0，±2

3

）和（0，

3 ± 11

2

）．

點評：本題結合圓，三角形的知識考查了二次函數(shù)的綜合應用，結合幾何知識，利用數(shù)形結合的思想求解是這類題的基本思路．要注意（4）中要分情況進行討論，不要漏解．