Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長為8，連結(jié)OB，P為OB的中點(diǎn).

（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)B（ ， ）

（2）點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段BC上向終點(diǎn)C運(yùn)動，連結(jié)PD，作PD⊥PE，交OC于點(diǎn)E，連結(jié)DE.設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動時間為秒.

①點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，∠PED的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由如果不變，求出∠PED的度數(shù)

②連結(jié)PC，當(dāng)PC將△PDE分成的兩部分面積之比為1:2時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）8，8；（2）①∠PED的大小不變，∠PED=45°；②t的值為：秒或秒．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的邊長為8和正方形的性質(zhì)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）①如圖1，作輔助線，證明四邊形PMCN是正方形，再證明△DPN≌△EPM（ASA），可得△DPE是等腰直角三角形，可得結(jié)論；
②分兩種情況：當(dāng)PC將△PDE分成的兩部分面積之比為1：2時，即G是ED的三等分點(diǎn)，根據(jù)面積法可知：EC與CD的比為1：2或2：1，列方程可得結(jié)論．

解：（1）∵正方形OABC的邊長為8，
∴B（8，8）；
故答案為：8，8；

（2）①∠PED的大小不變；理由如下：
作PM⊥OC于M，PN⊥CB于N，如圖1所示：

∵四邊形OABC是正方形，
∴OC⊥BC，
∴∠MCN=∠PMC=∠PNC=90°，
∴四邊形PMCN是矩形，
∵P是OB的中點(diǎn)，
∴N、M分別是BC和OC的中點(diǎn)，
∴MC=NC，
∴矩形PMCN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠DPN=∠EPM，
∵∠PND=∠PME=90°，
∴△DPN≌△EPM（ASA），
∴PD=PE，

∴△DPE是等腰直角三角形，
∴∠PED=45°；
②如圖2，作PM⊥OC于M，PN⊥CB于N，

若PC將△PDE的面積分成1：2的兩部分，
設(shè)PC交DE于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為DE的三等分點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)中點(diǎn)之前時，如圖2所示，CD=8-t，
由△DPN≌△EPM得：ME=DN=4-t，

∴EC=CM-ME=4-（4-t）=t，
∵點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)，
∴或
∵CP平分∠OCB，
∴或2，
即CD=2CE或CE=2CD，
∴8-t=2t或t=2（8-t），
t=或（舍）；

當(dāng)點(diǎn)D越過中點(diǎn)N之后，如圖3所示，CD=8-t，

由△DPN≌△EPM得：CD=8-t，DN=t-4
∴EC=CM+ME=4+（t-4）=t，
∵點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)，
∴或
∵CP平分∠OCB，
∴或2，
即CD=2CE或CE=2CD，

∴8-t=2t或t=2（8-t），
t=（舍）或；
綜上所述，當(dāng)PC將△PED分成的兩部分的面積之比為1：2時，t的值為：秒或秒．