Question

【題目】如圖，拋物線L1：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）已知直線l的解析式為y=kx﹣5．

（1）求拋物線L1的解析式、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）若直線l將線段AB分成1：3兩部分，求k的值；

（3）當(dāng)k=2時(shí)，直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于直線上方的一點(diǎn)，當(dāng)△PMN面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)，并求面積的最大值．

（4）將拋物線L1在x軸上方的部分沿x軸折疊到x軸下方，將這部分圖象與原拋物線剩余的部分組成的新圖象記為L2

①直接寫出y隨x的增大而增大時(shí)x的取值范圍；

②直接寫出直線l與圖象L2有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）解析式為y=﹣x2+6x﹣5，對稱軸：直線x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，4）；（2）k=或k=；（3）當(dāng)x=2時(shí)，SPMN最大，最大值為8，此時(shí)P（2，3）；（4）①當(dāng)x≤1或3≤x≤5時(shí)y隨x的增大而增大；②當(dāng)＜k＜1時(shí)，直線l與圖象L2有四個(gè)交點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)線段的比，可得直線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PH，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（4）①根據(jù)函數(shù)圖象的增減趨勢，可得答案；②根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，可得直線經(jīng)過D，B點(diǎn)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得相應(yīng)的k值，可得答案．

（1）∵拋物線L1：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）

∴y=﹣（x﹣1）（x﹣5）=﹣（x﹣3）2+4，

∴拋物線L1的解析式為y=﹣x2+6x﹣5

對稱軸：直線x=3

頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，4）；

（2）∵直線l將線段AB分成1：3兩部分，則l經(jīng)過點(diǎn)（2，0）或（4，0），

∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5

∴k=或k=.

（3）如圖1

，

設(shè)P（x，﹣x2+6x﹣5）是拋物線位于直線上方的一點(diǎn)，

解方程組，解得

或

不妨設(shè)M（0，﹣5）、N（4，3）

∴0＜x＜4

過P做PH⊥x軸交直線l于點(diǎn)H，

則H（x，2x﹣5），

PH=﹣x2+6x﹣5﹣（2x﹣5）=﹣x2+4x，

S△PMN=PHxN

=（﹣x2+4x）×4

=﹣2（x﹣2）2+8

∵0＜x＜4

∴當(dāng)x=2時(shí)，SPMN最大，最大值為8，此時(shí)P（2，3）

（4）如圖2

，

A（1，0），B（5，0）．由翻折，得D（3，﹣4），

①當(dāng)x≤1或3≤x≤5時(shí)y隨x的增大而增大

②當(dāng)y=kx﹣5過D點(diǎn)時(shí)，3k﹣5=﹣4，解得k=，

當(dāng)y=kx﹣5過B點(diǎn)時(shí)，5k﹣5=0，解得k=1，

直線與拋物線的交點(diǎn)在BD之間時(shí)有四個(gè)交點(diǎn)，即＜k＜1，

當(dāng)＜k＜1時(shí)，直線l與圖象L2有四個(gè)交點(diǎn)．