Question

如圖，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，將一塊與△ABC全等的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上，一直角邊與BC重疊．
（1）操作1：固定△ABC，將三角板沿C?B方向平移，使其直角頂點(diǎn)落在BC的中點(diǎn)M，如圖2示．探究：三角板沿C?B方向平移的距離為

 

；
（2）操作2：在（1）情形下，將三角板繞BC的中點(diǎn)M順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°）如圖3示．探究：設(shè)三角板兩直角邊分別與AB、AC交于P、Q，觀察四邊形MPAQ形狀的變化，發(fā)現(xiàn)其面積始終不變，那么四邊形MPAQ的面積S_{四邊形MPAQ}=

 

；
（3）在（2）的情形下，連PQ，設(shè)BP=x，記△APQ的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；并求x為何值時(shí)，△PQA面積有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）∵AC=AB=2，∠A=90°∴BC=2

2

，直角頂點(diǎn)落在BC的中點(diǎn)M，移動(dòng)的距離為BC的一半，為

2

；
（2）連接AM，易得△MBP≌△MAQ，∴S_{四邊形MPAQ}=S_△MAB=1；
（3）BP=x，那么AQ=BP=x，AP=2-x∴S_△PQA=

1

2

AP•AQ．

解答：解：（1）

2

；
（2）S_{四邊形MPAQ}=1；
（3）連AM，易證△AQM≌△BMP，
則AQ=PB=x，AP=2-x，
S_△PQA=

1

2

AP•AQ=

1

2

（2-x）x．
y=

1

2

（2-x）x=-

1

2

x2+x，
y=

1

2

（2-x）x=-

1

2

x2+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，
當(dāng)x=1時(shí)S_△PQA最大=

1

2

．

點(diǎn)評：解決本題的難點(diǎn)是作出輔助線得到相應(yīng)的三角形全等，進(jìn)而求解．