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        1. 精英家教網(wǎng)已知如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=
          2
          +1
          ,D是BC中點,作半徑是
          3
          2
          的圓經(jīng)過點A和D且交AB于F,交AC于E.求∠ADF的正弦值.
          分析:連接EF,DE,根據(jù)題意,可得EF為⊙O的直徑,繼而推出△EDC≌△FDA,AF=CE,然后在Rt△AEF中,根據(jù)勾股定理,即可求出AF的長度,由∠ADF=∠AEF,即可推出∠ADF的正弦值.
          解答:精英家教網(wǎng)解:連接EF,ED(1分)
          在△ABC中
          ∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=CD,
          ∴AD=
          1
          2
          BC=CD
          ,∠DAF=∠DCE=45°,∠ADC=90°,(2分)
          ∴∠ADE+∠EDC=90°,
          在⊙O中,
          ∵∠BAC=90°,
          ∴EF是⊙O的直徑,(3分)
          ∴∠FDE=90°,
          ∴∠FDA+∠ADE=90°,
          ∴∠EDC=∠FDA,
          ∴△EDC≌△FDA,
          ∴AF=CE,(4分)
          設AF=x,則CE=x,AE=AC-CE=
          2
          +1
          -x,
          ∵⊙O的半徑是
          3
          2

          ∴EF=
          3
          ,
          在Rt△AEF中,x2+(
          2
          +1-x)2=(
          3
          )2
          ,
          解得x1=1,x2=
          2
          ,
          ∠ADF=∠AEF,(5分)
          ∴當x=1時,sin∠ADF=sin∠AEF=
          AF
          EF
          =
          3
          3

          當x=
          2
          時,sin∠ADF=sin∠AEF=
          AF
          EF
          =
          6
          3
          ,
          ∴∠ADF的正弦值為
          3
          3
          6
          3
          .(7分)
          點評:本題主要考查了圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識點,解題的關鍵在于求出AF=CE,解Rt△AEF,∠ADF=∠AEF.
          練習冊系列答案
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          (1)△DCF∽△ABC;
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          (1)則四邊形DBCE是
          形(填寫:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形)
          (2)若AB=AC=1,BC=
          3
          ,請你求出四邊形DBCE的面積.

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          已知如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB-AC=2-
          2
          ,求BC的長.

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          已知如圖,在△ABC中,∠C=60°,AB=2
          7
          ,AC=4,AD是邊BC上的高,求BC的長.

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