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        1. 【題目】請(qǐng)閱讀下列材料:

          小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在邊長(zhǎng)為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1,當(dāng)∠AFQ=BGM=GHN=DEP=45°時(shí),求正方形MNPQ的面積.

          小明發(fā)現(xiàn),分別延長(zhǎng)QE,MF,NG,PHFA,GBHC,ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,S,T,W,可得RQF,SMGTNH,WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形(如圖2) .

          請(qǐng)回答:

          (1)若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形(無(wú)縫隙不重疊),則這個(gè)新正方形的邊為 ;

          (2)求正方形MNPQ的面積.

          (3)參考小明思考問題的方法,解決問題:

          如圖3,在等邊ABC各邊上分別截取AD=BE=CF,再分別過點(diǎn)D,E,FBC,AC,AB的垂線,得到等邊RPQ.若SRPQ=,求AD的長(zhǎng).

          【答案】(1a

          2∵△RQFSMG,TNH,WPE四個(gè)全等的等腰直角三角形面積和為,正方形ABCD的面積為,。

          3

          【解析】試題分析:(1)四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a,其拼成的正方形面積為a2,邊長(zhǎng)為a;

          2)如題圖2所示,正方形MNPQ的面積等于四個(gè)虛線小等腰直角三角形的面積之和,據(jù)此求出正方形MNPQ的面積;

          3)參照小明的解題思路,對(duì)問題做同樣的等積變換.如答圖1所示,三個(gè)等腰三角形△RSF△QET,△PDW的面積和等于等邊三角形△ABC的面積,故陰影三角形△PQR的面積等于三個(gè)虛線等腰三角形的面積之和.據(jù)此列方程求出AD的長(zhǎng)度.

          試題解析:(1)四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a,則斜邊上的高為a,

          每個(gè)等腰直角三角形的面積為: a=a2,

          則拼成的新正方形面積為:a2=a2,即與原正方形ABCD面積相等,

          這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為a;

          2四個(gè)等腰直角三角形的面積和為a2,正方形ABCD的面積為a2,

          S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4××12=2;

          3)如圖1所示,分別延長(zhǎng)RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,T,W

          由題意易得:△RSF,△QET,△PDW均為底角是30°的等腰三角形,其底邊長(zhǎng)均等于△ABC的邊長(zhǎng).

          不妨設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為a,則SF=AC=a

          如答圖2所示,過點(diǎn)RRMSF于點(diǎn)M,則MF=SF=a,

          RtRMF中,RM=MFtan30°==a,

          SRSF=img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/28/23/c8f2bc24/SYS201712282307356414948798_DA/SYS201712282307356414948798_DA.018.png" width="16" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />a=a2

          過點(diǎn)AAN⊥SD于點(diǎn)N,設(shè)AD=AS=x,

          AN=ADsin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x

          SADS=SDAN=×x=x2

          三個(gè)等腰三角形RSF,QET,PDW的面積和=3SRSF=3×a2=a2

          ∴SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS,

          =3×x2,得x2=,

          解得x=x=-(不合題意,舍去)

          x=,即AD的長(zhǎng)為

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          C.2個(gè)
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