Question

【題目】如圖1，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在AB上（點(diǎn)D與點(diǎn)A，B不重合），DE⊥BC，垂足為E，點(diǎn)P在BC上，且DP∥AC，△B′DE′與△BDE關(guān)于DP對(duì)稱．設(shè)BE=x，△B′DE′與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x＜， ≤x＜m與m≤x＜n時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．

（1）填空：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為_____，圖2中a的值為_____；

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】 2， ； S=

【解析】（1）先根據(jù)圖象得到當(dāng)x=BE=時(shí)，點(diǎn)B'在AC上，進(jìn)而得出△ADB'是等邊三角形，根據(jù)AD=DB'=DB=1，可得等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，再根據(jù)S△DB'E'=S△DBE=，可得a的值；

（2）分三種情況討論：當(dāng)0＜x＜時(shí)，當(dāng)≤x＜時(shí)，當(dāng)≤x＜1時(shí)，分別根據(jù)△B′DE′與△ABC重疊部分的形狀，運(yùn)用圖形面積的和差關(guān)系得到S的表達(dá)式．

解：（1）如圖甲，

當(dāng)x=BE=時(shí)，點(diǎn)B'在AC上，

∵DE⊥BC，

∴∠BDE=30°，

∴BD=2BE=1，DE=，

又∵△B′DE′與△BDE關(guān)于DP對(duì)稱，DP∥AC，

∴DB'=DB=1，且∠BDB'=60°×2=120°，

∴DB'∥BC，

∴△ADB'是等邊三角形，

∴AD=DB'=DB=1，

∴AB=2，即等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，

∵S△DB'E'=S△DBE=××=，

∴a=，

故答案為：2，；

（2）當(dāng)0＜x＜時(shí)，如圖1，

∵△ABC是等邊三角形，DE⊥BC，

∴∠A=∠B=60°，∠BDE=30°，

∵△B′DE′與△BDE關(guān)于DP對(duì)稱，

∴S=S△DB'E'=S△DBE=BE×DE=xx=x2；

當(dāng)x=m時(shí)，點(diǎn)E'在AC上，此時(shí)，BE=AD=AB=，即m=，

當(dāng)≤x＜時(shí)，如圖2，

設(shè)B'D，B'E'分別與AC交于點(diǎn)M，N，

∵DP∥AC，

∴∠B'MN=∠DMA=∠MDP，∠BDP=∠A，

∵△B′DE′與△BDE關(guān)于DP對(duì)稱，

∴∠MDP=∠BDP=∠A=60°，∠B'=∠B=60°，

∴∠B'MN=∠DMA=60°，

∴∠B'NM=60°=∠B'MN=∠B'，∠ADM=60°=∠DMA=∠A，

∴△B'MN和△ADM都是等邊三角形，

作NQ⊥B'M于Q，則NQ=B'N，

∵B'M=B'D﹣DM=BD﹣AD=2x﹣（2﹣2x）=4x﹣2，

∴S=S四邊形DE'NM

=S△B'DE'﹣S△B'MN

=S△BDE﹣S△B'MN

=x2﹣（4x﹣2）（4x﹣2）

=﹣x2+4x﹣；

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，x=BE=BC=1，即n=1，

當(dāng)≤x＜1時(shí)，如圖3，

設(shè)B'D，DE'與AC分別交于點(diǎn)M，N，作AQ⊥DM于Q，

∵∠B'DE'=∠BDE=30°，∠ADM=60°，

∴∠ADN=90°，

∴S=S△MND

=S△ADN﹣S△ADM

=（2﹣2x）（2﹣2x）﹣（2﹣2x）（2﹣2x）

=x2﹣2x+．

綜上所述，S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：S=