Question

【題目】如圖1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分線(xiàn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓交AE于點(diǎn)G．
（1）求證：直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）在圖2中，設(shè)PE與⊙O相切于點(diǎn)H，連結(jié)AH，點(diǎn)D是⊙O的劣弧 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交PA于點(diǎn)B，交PE于點(diǎn)C，已知△PBC的周長(zhǎng)為4，tan∠EAH= ，求EH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

作OH⊥PE，

∴∠OHP=90°，

∵∠PAE=90，

∴∠OHP=∠OAP，

∵PO是∠APE的角平分線(xiàn)，

∴∠APO=∠EPO，

在△PAO和△PHO中

，

∴△PAO≌△PHO，

∴OH=OA，

∵OA是⊙O的半徑，

∴OH是⊙O的半徑，

∵OH⊥PE，

∴直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn)

（2）

解：如圖2，連接GH，

∵BC，PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，

∴DB=DA，DC=CH，

∵△PBC的周長(zhǎng)為4，

∴PB+PC+BC=4，

∴PB+PC+DB+DC=4，

∴PB+AB+PC+CH=4，

∴PA+PH=4，

∵PA，PH是⊙O的切線(xiàn)，

∴PA=PH，

∴PA=2，

由（1）得，△PAO≌△PHO，

∴∠OFA=90°，

∴∠EAH+∠AOP=90°，

∵∠OAP=90°，

∴∠AOP+∠APO=90°，

∴∠APO=∠EAH，

∵tan∠EAH= ，

∴tan∠APO= = ，

∴OA= PA=1，

∴AG=2，

∵∠AHG=90°，

∵tan∠EAH= = ，

∵△EGH∽△EHA，

∴ = ，

∴EH=2EG，AE=2EH，

∴AE=4EG，

∵AE=EG+AG，

∴EG+AG=4EG，

∴EG= AG= ，

∵EH是⊙O的切線(xiàn)，EGA是⊙O的割線(xiàn)，

∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）= ×（ +2）= ，

∴EH=

【解析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分線(xiàn)，得到∠APO=∠EPO，判斷出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑”來(lái)得出直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn)；
　　　�。�2）先利用切線(xiàn)的性質(zhì)和△PBC的周長(zhǎng)為4求出PA=2，再用三角函數(shù)求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割線(xiàn)定理即可．此題是切線(xiàn)的性質(zhì)和判定題，主要考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)求出OA．