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        1. 觀察下列各個等式:12=1,12+22=5,12+22+32=14,12+22+32+42=30,….
          (1)你能從中推導(dǎo)出計算12+22+32+42+…+n2的公式嗎?請寫出你的推導(dǎo)過程;
          (2)請你用(1)中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題:
          已知:如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x、y軸的正半軸分別交于點A、B,將線段OAn等分,分點從左到右依次為A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、An-1,分別過這n-1個點作x軸的垂線依次交拋物線于點B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、Bn-1,設(shè)△OBA1、
          △A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△An-1Bn-1A的面積依次為S1、S2、S3、S4、…、Sn.
          ①當(dāng)n=2010時,求S1+S2+S3+S4+S5+…+S2010的值;
          ②試探究:當(dāng)n取到無窮無盡時,題中所有三角形的面積和將是什么值?為什么?

          【答案】分析:(1)由n3-(n-1)3=3n2-3n+1公式的n的式子相加推導(dǎo)出12+22+32+42+…+n2的公式.
          (2)①結(jié)合拋物線和(1)中推導(dǎo)出的公式求出S1+S2+S3+S4+S5+…+S2010的值;
          ②當(dāng)n取到無窮無盡時,取極值,求得三角形的面積.
          解答:解:(1)∵n3-(n-1)3=3n2-3n+1,∴當(dāng)式中的n從1、2、3、依次取到n時,就可得下列n個等式:
          13-03=3-3+1,23-13=3×22-3×2+1,33-23=3×32-3×3+1,…,n3-(n-1)3=3n2-3n+1,
          將這n個等式的左右兩邊分別相加得:n3=3×(12+22+32+…+n2)-3×(1+2+3+…+n)+n,
          即12+22+32+42+…+n2=

          (2)先求得A、B兩點的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,3),
          ∴點A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、An-1的橫坐標(biāo)分別為,
          點B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、Bn-1的縱坐標(biāo)分別為
          ;
          =.(3分)
          ∴①當(dāng)n=2010時,S1+S2+S3+S4+S5+…+S2010=+-;
          ②∵;
          ∴當(dāng)n取到無窮無盡時,上式的值等于,即所有三角形的面積和等于.(3分)
          點評:本題通過推導(dǎo)公式考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,題目新穎,有一定的難度.
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          n(n+2)+1=(n+1)2

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          (1)你能從中推導(dǎo)出計算12+22+32+42+…+n2的公式嗎?請寫出你的推導(dǎo)過程;
          (2)請你用(1)中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題:
          已知:如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x、y軸的正半軸分別交于點A、B,將線段OAn等分,分點從左到右依次為A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、An-1,分別過這n-1個點作x軸的垂線依次交拋物線于點B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、Bn-1,設(shè)△OBA1、
          △A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△An-1Bn-1A的面積依次為S1、精英家教網(wǎng)S2、S3、S4、…、Sn.
          ①當(dāng)n=2010時,求S1+S2+S3+S4+S5+…+S2010的值;
          ②試探究:當(dāng)n取到無窮無盡時,題中所有三角形的面積和將是什么值?為什么?

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