Question

（2013•高淳縣一模）如圖①，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)或邊上一點(diǎn)，且∠BPC=2∠A，則稱點(diǎn)P是△ABC內(nèi)∠A的二倍角點(diǎn)．
（1）如圖②，點(diǎn)O等邊△ABC的外心，連接OB、OC．
①求證：點(diǎn)O是△ABC內(nèi)∠A的一個(gè)二倍角點(diǎn)；
②作△BOC的外接圓，求證：弧BOC上任意一點(diǎn)（B、C除外）都是△ABC內(nèi)∠A的二倍角點(diǎn)．
（2）如圖③，在△ABC的邊AB上求作一點(diǎn)M，使點(diǎn)M是△ABC內(nèi)∠A的一個(gè)二倍角點(diǎn)（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并寫出作法）．
（3）在任意三角形形內(nèi)，是否存在一點(diǎn)P同時(shí)為該三角形內(nèi)三個(gè)內(nèi)角的二倍角點(diǎn)？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由點(diǎn)O等邊△ABC的外心，連接OB、OC，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)與圓周角定理，即可得∠BOC=2∠A，且點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，即可證得點(diǎn)O是△ABC內(nèi)∠A的一個(gè)二倍角點(diǎn)；
②由圓周角定理可得∠BO′C=∠BOC，且點(diǎn)O′是△ABC的內(nèi)一點(diǎn)，即可證得弧BOC上任意一點(diǎn)（B、C除外）都是△ABC內(nèi)∠A的二倍角點(diǎn)．
（2）作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，連接MC，可得AM=CM，即可得∠ACM=∠A，則∠BMC=∠A+∠ACM=2∠A，可得M是△ABC內(nèi)∠A的一個(gè)二倍角點(diǎn)；
（3）分別從銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）①∵點(diǎn)O等邊△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠A，
又∵點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，
∴點(diǎn)O是△ABC內(nèi)∠A的一個(gè)二倍角點(diǎn)．…（2分）

②設(shè)O′弧BOC上任意一點(diǎn)，
則∠BO′C=∠BOC，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BO′C=2∠A，
又∵點(diǎn)O′是△ABC的內(nèi)一點(diǎn)，
∴點(diǎn)O′是△ABC內(nèi)∠A的二倍角點(diǎn)．…（4分）

（2）如右圖，作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，連接MC，
則點(diǎn)M為所求作的點(diǎn)．…（6分）

（3）�。┊�(dāng)三角形為銳角或直角三角形時(shí)，三角形外接圓的圓心即為該三角形內(nèi)三個(gè)內(nèi)角的二倍角點(diǎn)；    …（8分）
ⅱ）當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，不存在一點(diǎn)同時(shí)為該三角形內(nèi)三個(gè)內(nèi)角的二倍角點(diǎn)．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形外心的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及尺規(guī)作圖等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．