Question

已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連結(jié)OP，弦CB//OP，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，BD=2PA．
小題1:證明：直線PB是⊙O的切線；
小題2:探索線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
小題3:求sin∠OPA的值．

Answer 1

小題1:連結(jié)OB．∵BC//OP，      ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，   ∴∠POB=∠POA．
又∵PO=PO，OB=OA，           ∴△POB≌△POA．
∴∠PBO=∠PAO=90°．          ∴PB是⊙O的切線．
小題1:2PO=3BC（寫(xiě)PO=BC亦可）．
證明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO．
∴．∴2PO=3BC．
注：開(kāi)始沒(méi)有寫(xiě)出判斷結(jié)論，正確證明也給滿分．

小題1:∵△DBC∽△DPO，∴，即DC=OD．∴DC=2OC．
設(shè)OA=x，PA=y．則OD=3x，DB=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)²= x²+(2y)²．即2 x²= y²．
∵x>0，y>0，∴y=x．OP=．
∴sin∠OPA=．

根據(jù)切線定理證明圓的切線，有關(guān)計(jì)算的依據(jù)是三角形相似和勾股定理。