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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】2012義烏市)在銳角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉,得到△A1BC1
          (1)如圖1,當點C1在線段CA的延長線上時,求∠CC1A1的度數;
          (2)如圖2,連接AA1 , CC1 . 若△ABA1的面積為4,求△CBC1的面積;
          (3)如圖3,點E為線段AB中點,點P是線段AC上的動點,在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中,點P的對應點是點P1 , 求線段EP1長度的最大值與最小值.

          【答案】
          (1)解:由旋轉的性質可得:∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,

          ∴∠CC1B=∠C1CB=45°,

          ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°


          (2)解:∵△ABC≌△A1BC1,

          ∴BA=BA1,BC=BC1,∠ABC=∠A1BC1,

          ,∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1,

          ∴∠ABA1=∠CBC1

          ∴△ABA1∽△CBC1

          ,

          ∵SABA1=4,

          ∴SCBC1=


          (3)解:①如圖1,

          過點B作BD⊥AC,D為垂足,

          ∵△ABC為銳角三角形,

          ∴點D在線段AC上,

          在Rt△BCD中,BD=BC×sin45°= ,

          當P在AC上運動,BP與AC垂直的時候,△ABC繞點B旋轉,使點P的對應點P1在線段AB上時,EP1最小,最小值為:EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE= ﹣2;

          ②當P在AC上運動至點C,△ABC繞點B旋轉,使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時,EP1最大,最大值為:EP1=BC+BE=2+5=7


          【解析】(1)由由旋轉的性質可得:∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1 , 又由等腰三角形的性質,即可求得∠CC1A1的度數;(2)由△ABC≌△A1BC1 , 易證得△ABA1∽△CBC1 , 然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,即可求得△CBC1的面積;(3)由①當P在AC上運動至垂足點D,△ABC繞點B旋轉,使點P的對應點P1在線段AB上時,EP1最小;②當P在AC上運動至點C,△ABC繞點B旋轉,使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時,EP1最大,即可求得線段EP1長度的最大值與最小值.
          【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識,掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方,以及對旋轉的性質的理解,了解①旋轉后對應的線段長短不變,旋轉角度大小不變;②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變;③旋轉后物體或圖形不變,只是位置變了.

          練習冊系列答案
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          ①當x>0時,y1>y2;
          ②當x<0時,x值越大,M值越小;
          ③使得M大于2的x值不存在;
          ④使得M=1的x值是﹣
          其中正確的是( )

          A.①②
          B.①④
          C.②③
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          (2)若⊙O的半徑為5,且tan∠DAC= ,求BC的長.

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