Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A(－4，0)，B(0，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，連接PQ，CQ，以PQ，CQ為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PQCD，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在線段OB上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示PC，AC的長(zhǎng)；

(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中．

①當(dāng)點(diǎn)D落在x軸上時(shí)，求出滿足條件的t的值；

②若點(diǎn)D落在△ABO內(nèi)部(不包括邊界)時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍；

(3)作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接CQ′，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻使過(guò)A，P，C三點(diǎn)的圓與△CQQ′三邊中的一條邊相切？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC＝(4－t)（2）①時(shí)，點(diǎn)D在x軸上，（3）或

【解析】（1）利用三角函數(shù)sin∠OAB==，cos∠OAB==，列出關(guān)系式即可解決問(wèn)題.

（2）①當(dāng)D在x軸上時(shí)，如圖2中，由QC∥OA，得=，由此即可解決問(wèn)題. ②當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，如圖3中，由PQ∥AB，得=，求出時(shí)間t，求出①②兩種情形時(shí) 的△POQ的面積即可解決問(wèn)題.

（3）如圖4中，當(dāng)QC與⊙M相切時(shí)，則QC⊥CM，首先證明QBQ=QC，作QN∠BC于N，根據(jù)cos∠ABO==，列出方程即可解決問(wèn)題，當(dāng)CQ/是⊙M切線時(shí)，方法類似.

解：(1)如圖1中，

∵OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝5．

在Rt△ACP中，PA＝4－t，

∵sin∠OAB＝，∴PC＝(4－t)，

∵cos∠OAB＝，∴AC＝(4－t)．

(2)①當(dāng)D在x軸上時(shí)，如圖2中，

∵QC∥OA，∴∴，

解得．∴時(shí)，點(diǎn)D在x軸上．

②．

(3)如圖3中，

∵Q(0，3－2t)，Q′(0，2t－3)，

當(dāng)QC與⊙M相切時(shí)，則QC⊥CM，

∴∠QCM＝90°，∴∠QCP+∠PCM＝90°，∵∠QCP+∠QCB＝90°，

∴∠BCQ＝∠PCM＝∠CPM，

∵∠CPM+∠PAC＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，

∴∠APC＝∠OBA，∴∠QBC＝∠QCB，

∴BQ＝CQ，作QN⊥BC于N，

∵cos∠ABO＝，∴，

解得，

當(dāng)CQ′是⊙M切線時(shí)，同理可得，解得．

∴或時(shí)，過(guò)A，P，C三點(diǎn)的圓與△CQQ′三邊中的一條邊相切．

“點(diǎn)睛”本題考查圓的綜合題、銳角三角函數(shù)、四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得點(diǎn)D在特殊位置時(shí)的時(shí)間，學(xué)會(huì)利用方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.