Question

有四個(gè)同樣大小邊長(zhǎng)為a的六角螺母如圖所示排列，則圖中三角形ABC的面積等于______．

Answer 1

設(shè)四個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是a，連接AD，BE，CF，AK并延長(zhǎng)，使AK與CF相交于點(diǎn)G，BE的延長(zhǎng)線與FC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，
∵這四個(gè)六角螺母是大小相等的正六邊形，
∴∠AHD=120°，AH=DH，
∴∠ADH=

180°-∠AHD

2

=

180°-120°

2

=30°，
∴∠ADB=∠BDH-∠ADH=120°-30°=90°，
∴△ABD是直角三角形，
同理可得△ALN是等腰三角形，
過L作LM⊥AD，則AD=4AM=4AM•cos∠MAL=4×

3

2

a=2

3

a，
∴AB=

AD2+BD2

=

(2 3 a)2+a2

=

13

a；
同理可知，BC=AC=AB=

13

a，即△ABC是等邊三角形，
∴S_△ABC=

1

2

BC×

3

BC=

3

2

a²．