Question

如圖1，有一塊30°、60°、90°的三角板所對應的點為A、B、C，斜邊AB為4個單位長度，且A、B兩點分別在x軸、y軸上滑動，記∠BAO=α．（當B點與O點重合時，記α=0°，如圖2所示；當A點與O點重合時，記α=90°，如圖3所示）．

（1）當α=0°時，直接寫出點C的坐標

 

；當α=90°時，直接寫出點C的坐標

 

；
（2）當α=60°時，直接寫出點C的坐標

 

；
（3）請從α=15°、α=30°、α=45°、α=75°中任意選兩個角度，分別求出點C的坐標；（其中一個寫出詳細的求解過程，另一個直接寫出答案）當α=

 

時，點C的坐標為

 

；
（4）根據(jù)前面的探索，當α為任意銳角時，你認為點C是否會落在某條線段上運動，若存在，請寫出這條線段所在直線的函數(shù)表達式及自變量的取值范圍；若不存在，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=cos75°=

6 - 2

4

，sin75°=cos15°=

6 + 2

4

）

Answer 1

分析：根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據(jù)角的正弦值與三角形邊的關系，可求出各邊的長．

解答：解：（1）(1， 

3

)；(

3

， 3)；（2分）

（2）(2， 2

3

)；（3分）

（3）當α=15°時，過C作CD⊥x軸于點D，
在Rt△ABC中，AB=4，∠BAC=30°，∴AC=2

3

．（4分）
在Rt△ACD中，AC=2

3

，∠DAC=45°，∴CD=DA=

6

．（5分）
在Rt△AOB中，AB=4，∠BAO=15°，
∴OA=4•

6 + 2

4

=

6

+

2

．（6分）
∴OD=OA-DA=

2

．∴C(

2

，

6

)；（7分）
同理：當α=30°時，C(

3

，3)；（9分）
當α=45°時，C(

6 + 2

2

，

3 2 + 6

2

)；（9分）
當α=75°時，C(

6 + 2

2

，

3 2 + 6

2

)；（9分）

（4）y=

3

x(1≤x≤

3

)．（11分）

點評：本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用，要熟練掌握好邊角之間的關系．