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        1. 已知,如圖,矩形ABCD中,AD=6,DC=7,菱形EFGH的三個頂點E,G,H分別在矩形ABCD的邊AB,CD,DA精英家教網(wǎng)上,AH=2,連接CF.
          (1)若DG=2,求證四邊形EFGH為正方形;
          (2)若DG=6,求△FCG的面積;
          (3)當DG為何值時,△FCG的面積最小.
          分析:(1)由于四邊形ABCD為矩形,四邊形HEFG為菱形,那么∠D=∠A=90°,HG=HE,而AH=DG=2,易證△AHE≌△DGH,從而有∠DHG=∠HEA,等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°,易證四邊形HEFG為正方形;
          (2)過F作FM⊥DC,交DC延長線于M,連接GE,由于AB∥CD,可得∠AEG=∠MGE,同理有∠HEG=∠FGE,利用等式性質(zhì)有∠AEH=∠MGF,再結(jié)合∠A=∠M=90°,HE=FG,可證△AHE≌△MFG,從而有FM=HA=2(即無論菱形EFGH如何變化,點F到直線CD的距離始終為定值2),進而可求三角形面積;
          (3)先設DG=x,由第(2)小題得,S△FCG=7-x,在△AHE中,AE≤AB=7,利用勾股定理可得HE2≤53,在Rt△DHG中,再利用勾股定理可得x2+16≤53,進而可求x≤
          37
          ,從而可得當x=
          37
          時,△GCF的面積最小.
          解答:解:(1)∵四邊形ABCD為矩形,四邊形HEFG為菱形,
          ∴∠D=∠A=90°,HG=HE,又AH=DG=2,
          ∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL),
          ∴∠DHG=∠HEA,
          ∵∠AHE+∠HEA=90°,
          ∴∠AHE+∠DHG=90°,
          ∴∠EHG=90°,
          ∴四邊形HEFG為正方形;精英家教網(wǎng)

          (2)過F作FM⊥DC,交DC延長線于M,連接GE,
          ∵AB∥CD,
          ∴∠AEG=∠MGE,
          ∵HE∥GF,
          ∴∠HEG=∠FGE,
          ∴∠AEH=∠MGF,
          在△AHE和△MFG中,∠A=∠M=90°,HE=FG,
          ∴△AHE≌△MFG,
          ∴FM=HA=2,即無論菱形EFGH如何變化,點F到直線CD的距離始終為定值2,
          因此S△FCG=
          1
          2
          ×FM×GC=
          1
          2
          ×2×(7-6)=1
          ;

          (3)設DG=x,則由第(2)小題得,S△FCG=7-x,在△AHE中,AE≤AB=7,
          ∴HE2≤53,
          ∴x2+16≤53,
          ∴x≤
          37
          ,
          ∴S△FCG的最小值為7-
          37
          ,此時DG=
          37
          ,
          ∴當DG=
          37
          時,△FCG的面積最小為(7-
          37
          ).
          點評:本題考查了矩形、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.解題的關鍵是作輔助線:過F作FM⊥DC,交DC延長線于M,連接GE,構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯角.
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          (2)若AD=3,AE⊥BE,求AB的長.

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          已知:如圖,矩形ABCD中,點E在邊AB上,∠DEB的平分線EF交BC的延長線于點F,且AB=BF,連接DF.
          (1)若tan∠FDC=
          12
          ,AD=1,求DF的長;
          (2)求證:DE=BE+CF.

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          求證:梯形EFCD是等腰梯形.

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