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        1. 【題目】如圖1,P是線段AB上的一點,在AB的同側(cè)作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,連接CD,點E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點,順次連接E、F、G、H.

          (1)猜想四邊形EFGH的形狀,直接回答,不必說明理由;

          (2)當(dāng)點P在線段AB的上方時,如圖2,在△APB的外部作△APC和△BPD,其他條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?說明理由;

          (3)如果(2)中,∠APC=∠BPD=90°,其他條件不變,先補全圖3,再判斷四邊形EFGH的形狀,并說明理由.

          【答案】(1)四邊形EFGH是菱形;

          (2)成立,理由見解析;

          (3)補全圖形見解析;四邊形EFGH是正方形,理由見解析.

          【解析】試題分析:(1)連接AD、BC,利用SAS可判定APD≌△CPB,從而得到AD=BC,因為EF、FG、GH、EH分別是ABC、ABD、BCD、ACD的中位線,則可以得到EF=FG=GH=EH,根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形,可推出四邊形EFGH是菱形;(2)成立,可以根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形判定;(3)先將圖形補充完整,再通過角之間的關(guān)系得到∠EHG=90°,已證四邊形EFGH是菱形,則四邊形EFGH是正方形.

          試題解析:(1)四邊形EFGH是菱形.

          (2)成立.理由:連接AD,BC.

          ∵∠APC=BPD,

          ∴∠APC+CPD=BPD+CPD.

          即∠APD=CPB.

          又∵PA=PC,PD=PB,

          ∴△APD≌△CPB(SAS)

          AD=CB.

          E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點,

          EF、FG、GH、EH分別是ABC、ABD、BCD、ACD的中位線.

          EF=BC,F(xiàn)G=AD,GH=BC,EH=AD.

          EF=FG=GH=EH.

          ∴四邊形EFGH是菱形.

          (3)補全圖形,如答圖.

          判斷四邊形EFGH是正方形.

          理由:連接AD,BC.

          (2)中已證APD≌△CPB.

          ∴∠PAD=PCB.

          ∵∠APC=90°,

          ∴∠PAD+1=90°.

          又∵∠1=2.

          ∴∠PCB+2=90°.

          ∴∠3=90°.

          (2)中已證GH,EH分別是BCD,ACD的中位線,

          GHBC,EHAD.

          ∴∠EHG=90°.

          又∵(2)中已證四邊形EFGH是菱形,

          ∴菱形EFGH是正方形.

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