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        1. 【題目】如圖,已知矩形OABC,以點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,其中A(2,0),C(0,3),點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動,連接BP,作BEPBx軸于點E,連接PEAB于點F,設(shè)運動時間為t秒.

          (1)當(dāng)t=2時,求點E的坐標(biāo);

          (2)AB平分∠EBP時,求t的值.

          (3)在運動的過程中,是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似.若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)E(5,0);(2)t=2;(3)存在;(0,)或(0,).

          【解析】

          (1)本題需先求出AB=AE,再求出DE=5,即可求出點E的坐標(biāo).
          (2)本題需先求出CP=CB=2,即可求出t的值.
          (3)本題需先證出△BCP∽△BAE,求出AE=t,再分兩種情形分別求解即可解決問題;

          解:(1)當(dāng)t=2時,PC=2,

          BC=2,

          PC=BC,

          ∴∠PBC=45°,

          ∴∠BAE=90°,

          ∴∠AEB=45°,

          AB=AE=3,

          ∴OE=5,

          ∴點E的坐標(biāo)是(5,0);

          (2)當(dāng)AB平分∠EBP時,

          PBF=45°,

          則∠CBP=CPB=45°,

          ∴CP=CB=2,

          t=2;

          (3)存在,

          ∵∠ABE+ABP=90°,

          PBC+ABP=90°,

          ∴∠ABE=PBC,

          ∵∠BAE=BCP=90°,

          ∴△BCP∽△BAE,

          ,

          t,

          ∵若△POE∽△EAB,

          ,

          ,

          t1= ,t2=(舍去),

          P的坐標(biāo)為(0, );

          當(dāng)點Py軸的負(fù)半軸上時,若△POE∽△EAB,則有,無解,

          若△POE∽△BAE,則有:,

          解得t=3+ 3﹣(舍棄)

          P的坐標(biāo)為(0,)或(0,).

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