Question

如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD

（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請問m，n，l滿足什么關(guān)系時，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個P點(diǎn)？兩個P點(diǎn)？三個P點(diǎn)？

Answer 1

解：（1）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若，則，解得：x=。
②若，則，即x²﹣10x+36=0，△=（﹣10）²﹣4×1×36＜0，此方程無解。
∴存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時BP的值為。
（2）在BD上存在2個P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若，則，解得：x=。
②若，則，即x²﹣12x+36=0，解得：x₁=x₂=6。
∴存在2個點(diǎn)P，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時BP的值為或6。
（3）在BD上存在3個P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若，則，解得：x=。
②若，則，即x²﹣15x+36=0，解得：x₁=3，x₂=12。
∴存在3個點(diǎn)P ，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時BP的值為或3或12。
（4）設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
∴當(dāng)或時，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似。
①若，則，解得：x=。
②若，則，即x²﹣lx+mn=0。
∵△=（﹣l）²﹣4×1×mn=l²﹣4mn，
∴當(dāng)l²﹣4mn＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)l²﹣4mn=0時，方程有2個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)l²﹣4mn＞0時，方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根。
∴當(dāng)l²﹣4mn＜0時，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個P點(diǎn)；
當(dāng)l²﹣4mn=0時，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的兩個P點(diǎn)；
當(dāng)l²﹣4mn＞0時，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的三個P點(diǎn)。

解析