Question

已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）的頂點(diǎn)在直線y=-

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x-1上，且過點(diǎn)A（4，0）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，是否在拋物線上存在一點(diǎn)B，使四邊形OPAB為梯形？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)C（1，-3），請?jiān)趻佄锞�的對稱軸確定一點(diǎn)D，使|AD-CD|的值最大，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵拋物線過點(diǎn)（0，0）、（4，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=2．（1分）
∵頂點(diǎn)在直線y=-

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x-1上，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）．（3分）
故設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²-2，
∵過點(diǎn)（0，0），
∴a=

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，
∴拋物線解析式為y=

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x2-2x；（5分）

（2）當(dāng)AP∥OB時，
如圖，∠BOA=∠OAP=45°，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，則OH=BH．
設(shè)點(diǎn)B（x，x），
故x=

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x2-2x，
解得x=6或x=0（舍去）（6分）
∴B（6，6）．（7分）
當(dāng)OP∥AB′時，同理設(shè)點(diǎn)B′（4-y，y）
故y=

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(4-y)2-2(4-y)，
解得y=6或y=0（舍去），
∴B′（-2，6）；（8分）
∴B的坐標(biāo)為（6，6）或（-2，6）．

（3）D坐標(biāo)應(yīng)是（2，-6）．（10分）