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        1. 【題目】問題:如圖1,在RtABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,點D是邊CB上任意一點,△ADE是等邊三角形,且點E在∠ACB的內(nèi)部,連接BE.探究線段BEDE之間的數(shù)量關(guān)系.請你完成下列探究過程:先將圖形特殊化,得出猜想,再對一般情況進行分析并加以證明.

          1)當(dāng)點D與點C重合時(如圖2),請你補全圖形.由∠BAC的度數(shù)為 ,點E落在 ______ ,容易得出BEDE之間的數(shù)量關(guān)為 ;

          2)當(dāng)點DBC上任意一點(不與點B、C重合)時,結(jié)合圖1,探究(1)中線段BEDE之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?并證明你的結(jié)論.

          3)如圖3,若點P為直線BC上一點,若△PAB為等腰三角形,請你求出∠APB的度數(shù).

          【答案】160°AB的中點處;BEDE;(2BEDE依然成立,證明見解析;(3)∠APB的度數(shù)為15°30°75°120°.

          【解析】

          1)根據(jù)題意畫出圖形,由直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

          2)根據(jù)題意畫出圖形,猜想:BEDE,取AB的中點F,連接EF,由∠ACB90°,∠ABC30°,可知∠160°,CFAFAB,故△ACF是等邊三角形,再由△ADE是等邊三角形可得出∠CAD=∠FAE,由全等三角形的判定定理可知△ACD≌△AFE,故∠ACD=∠AFE90°.由FAB的中點,可知EFAB的垂直平分線,進而可得出BEAE,結(jié)合DEAE可得BEDE;

          3)分三種情況討論:①當(dāng)APAB時,②當(dāng)BPAB時,③當(dāng)APBP時,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理分別計算即可.

          解:(1)如圖2,

          ∵∠C90°,∠ABC30°,

          ∴∠BAC60°,

          ∵△ADE是等邊三角形,

          AECE,

          ∴點E落在AB的中點處;

          AECEBEDE,

          故答案為:60°;AB的中點處;BEDE;

          2BEDE依然成立.

          證明:如圖3.取AB的中點F,連接EF

          ∵∠ACB90°,∠ABC30°,

          ∴∠160°,CFAFAB,

          ∴△ACF是等邊三角形.

          ACAF①,

          ∵△ADE是等邊三角形,

          ∴∠260°,ADAE②,

          ∴∠1=∠2

          ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠CAD=∠FAE

          由①②③得△ACD≌△AFESAS).

          ∴∠ACD=∠AFE90°.

          FAB的中點,

          EFAB的垂直平分線,

          BEAE,

          ∵△ADE是等邊三角形,

          DEAE,

          BEDE;

          3)如圖4,

          ∵△PAB為等腰三角形,

          ∴①當(dāng)APAB時,即:AP1AB,

          ∴∠AP1B=∠ABP130°;

          ②當(dāng)BPAB時,

          Ⅰ、BP2AB,

          ∴∠AP2B180°ABC)=75°,

          Ⅱ、BP4AB,

          ∴∠BAP4=∠AP4B,

          ∵∠ABC30°=∠BAP4+∠AP4B

          ∴∠AP4B15°;

          ③當(dāng)APBP時,即:AP3BP3

          ∴∠BAP3=∠ABC30°,

          ∴∠AP3B180°ABCBAP3120°,

          綜上所述,若△PAB為等腰三角形,∠APB的度數(shù)為15°或30°或75°或120°.

          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求證:AED≌△EBC;

          (2)當(dāng)AB=6時,求CD的長.

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          A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

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          1)求 C 點的坐標(biāo);

          2)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點 P,使△PAB △ABC 全等?若存在,直接寫出 P 點坐標(biāo),若不存在,請說明理由;

          3)如圖 2, E y 軸正半軸上一動點, E 為直角頂點作等腰直角△AEM, M MNx 軸于 N, OE-MN 的值.

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          【題目】已知拋物線L1y1x2+6x+5k和拋物線L2y2kx2+6kx+5k,其中k≠0.

          (1)下列說法你認為正確的是(填寫序號)

          ①拋物線L1L2y軸交于同一點(0,5k);

          ②拋物線L1L2開口都向上;

          ③拋物線L1L2的對稱軸是同一條直線;

          ④當(dāng)k<-1時,拋物線L1和L2都與x軸有兩個交點.

          (2)拋物線L1L2相交于點E、F,當(dāng)k的值發(fā)生變化時,請判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化,并說明理由;

          (3)在(2)中,若拋物線L1的頂點為M,拋物線L2的頂點為N,問是否存在實數(shù)k,使MN=2EF?如存在,求出實數(shù)k;如不存在,請說明理由.

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          【題目】規(guī)定兩數(shù)a、b之間的一種運算,記作(a,b):如果,那么(a,b)=c.

          例如:因為,所以(2,8)=3.

          (1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:

          (5,125)= ,(-2,4)= ,(-2,-8)= ;

          (2)小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象:,他給出了如下的證明:

          設(shè),則,即

          ,即,

          請你嘗試運用上述這種方法說明下面這個等式成立的理由.

          (4,5)+(4,6)=(4,30)

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          【題目】已知:如圖,ABCD,∠1=2,∠3=4

          1)求證:ADBE;

          2)若∠B=3=22,求∠D的度數(shù).

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          【題目】已知C為線段AB的中點,E為線段AB上的點,點D為線段AE的中點.

          1)若線段ABa,CEb,|a17|+b5.520,求線段AB、CE的長;

          2)如圖1,在(1)的條件下,求線段DE的長;

          3)如圖2,若AB20,AD2BE,求線段CE的長.

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