Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點E為BC上一點，F(xiàn)為DE的中點，且∠BFC=90°．

（1）當E為BC中點時，求證：△BCF≌△DEC；
（2）當BE=2EC時，求 的值；
（3）設CE=1，BE=n，作點C關于DE的對稱點C′，連結FC′，AF，若點C′到AF的距離是 ，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F(xiàn)是斜邊DE的中點，

∴CF= DE=EF，

∴∠FEC=∠FCE，

∵∠BFC=90°，E為BC中點，

∴EF=EC，

∴CF=CE，

在△BCF和△DEC中， ，

∴△BCF≌△DEC（ASA）

（2）

解：設CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，

∵CF是Rt△DCE斜邊上的中線，

∴CF= DE，

∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°，

∴△BCF∽△DEC，

∴ ，

即： = ，

解得：ED2=6a2，

由勾股定理得：DC= = = a，

∴ = =

（3）

解：過C′作C′H⊥AF于點H，連接CC′交EF于M，如圖所示：

∵CF是Rt△DCE斜邊上的中線，

∴FC=FE=FD，

∴∠FEC=∠FCE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠ADF=∠CEF，

∴∠ADF=∠BCF，

在△ADF和△BCF中， ，

∴△ADF≌△BCF（SAS），

∴∠AFD=∠BFC=90°，

∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，

∴四邊形C′MFH是矩形，

∴FM=C′H= ，

設EM=x，則FC=FE=x+ ，

在Rt△EMC和Rt△FMC中，

由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，

∴12﹣x2=（x+ ）2﹣（ ）2，

解得：x= ，或x=﹣ （舍去），

∴EM= ，F(xiàn)C=FE= + ；

由（2）得： ，

把CE=1，BE=n代入計算得：CF= ，

∴ = +

解得：n=4

【解析】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．
【考點精析】利用直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．