Question

如圖，拋物線F：的頂點(diǎn)為P，拋物線：與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，平移拋物線F使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D得到拋物線F′：，拋物線F′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

⑴當(dāng)a = 1，b=－2，c = 3時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)(直接寫出答案)；
⑵若a、b、c滿足了
①求b：b′的值；
②探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1） C（3，0）；
（2）①拋物線，令=0，則=，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）．
∵，∴ ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）．
∵PD⊥軸于D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）．
根據(jù)題意，得a=a′，c= c′，∴拋物線F′的解析式為．
又∵拋物線F′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（），∴．
∴．
又∵，∴．
∴b:b′=．
②由①得，拋物線F′為．
令y=0，則．
∴．
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）．
設(shè)直線OP的解析式為．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），
∴，∴，∴．
∵點(diǎn)B是拋物線F與直線OP的交點(diǎn)，∴．
∴．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．
把代入，得．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形．

（1）先求出拋物線解析式，再根據(jù)平移的特征即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的特征即可得到結(jié)果；
②根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線與直線OP的交點(diǎn)坐標(biāo)的特征即可得到結(jié)果；