Question

定義：如圖，若雙曲線y=

k

x

（k＞0）與它的其中一條對(duì)稱(chēng)軸y=x相交于兩點(diǎn)A，B，則線段AB的長(zhǎng)稱(chēng)為雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對(duì)徑．
（1）求雙曲線y=

1

x

的對(duì)徑；
（2）若某雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對(duì)徑是10

2

．求k的值．

Answer 1

過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖．
（1）解方程組

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=

2

OC=

2

，
∴AB=2OA=2

2

，
∴雙曲線y=

1

x

的對(duì)徑是2

2

；

（2）∵雙曲線的對(duì)徑為10

2

即AB=10

2

，OA=5

2

，
∴OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=5，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，5），
把A（5，5）代入雙曲線y=

k

x

（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值為25．