Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以A為圓心，AD為半徑的圓弧與以CD為直徑的半圓交于另一點(diǎn)P，過(guò)P作⊙A的切線分別交BC、CD于M、N兩點(diǎn)，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：如圖，連接AN、DP、AP，證明DP垂直于AN，根據(jù)相交兩圓性質(zhì)，N在連心線上，所以N為圓心，從而在△MNC中，利用勾股定理求解．
解答：解：如圖，連接AN、DP、AP．
∵AP=AD，
∴△APD是等腰三角形；
又∵M(jìn)N是⊙A的切線，AD⊥DN，
∴∠PAN=∠DAN；
∴AN⊥PD；
而點(diǎn)A圓心，N在連心線上，
∴點(diǎn)N是圓心，
∴ND=NC=；
∵M(jìn)N是⊙A的切線，AB⊥BM，
∴BM=PM；
同理，DN=PN；
∴在直角三角形MNC中，（PM+PN）²=CM²+CN²，即（BM+）²=（a-BM）²+（）²，
解得，BM=，
∴===；
故答案是：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的定理、兩相交圓的性質(zhì)以及勾股定理．解答該題的關(guān)鍵是證明N是CD的中點(diǎn)．